Cálculo Exemplos

$f (x) = x \sqrt{x^{2}} + 1$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x \sqrt{x^{2}} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x \sqrt{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x \sqrt{x^{2}}]$ .

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Etapa 1.2.1

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.2.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{1} x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.2.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{1} x^{1}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d}{d x} [x^{1 + 1}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.3.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 1.3.2

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = 2 x$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 2$

Etapa 3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2$ .

$2$