Cálculo Exemplos

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (2 θ)}{\sqrt{2} \cos (θ) - 1}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{θ \to \frac{π}{4}} \cos (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} \sqrt{2} \cos (θ) - 1}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{\cos (lim_{θ \to \frac{π}{4}} 2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} \sqrt{2} \cos (θ) - 1}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $θ$ .

$\frac{\cos (2 lim_{θ \to \frac{π}{4}} θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} \sqrt{2} \cos (θ) - 1}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $θ$ substituindo $\frac{π}{4}$ por $θ$ .

$\frac{\cos (2 \frac{π}{4})}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} \sqrt{2} \cos (θ) - 1}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{\cos (2 \frac{π}{2 (2)})}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} \sqrt{2} \cos (θ) - 1}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} \sqrt{2} \cos (θ) - 1}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\cos (\frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} \sqrt{2} \cos (θ) - 1}$

Etapa 1.1.2.3.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} \sqrt{2} \cos (θ) - 1}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $θ$ se aproxima de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} \sqrt{2} \cos (θ) - lim_{θ \to \frac{π}{4}} 1}$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova o termo $\sqrt{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $θ$ .

$\frac{0}{\sqrt{2} lim_{θ \to \frac{π}{4}} \cos (θ) - lim_{θ \to \frac{π}{4}} 1}$

Etapa 1.1.3.1.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{0}{\sqrt{2} \cos (lim_{θ \to \frac{π}{4}} θ) - lim_{θ \to \frac{π}{4}} 1}$

Etapa 1.1.3.1.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $θ$ se aproxima de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{\sqrt{2} \cos (lim_{θ \to \frac{π}{4}} θ) - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $θ$ substituindo $\frac{π}{4}$ por $θ$ .

$\frac{0}{\sqrt{2} \cos (\frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.3.1.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0}{\sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Multiplique $\sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 1.1.3.3.1.2.1

Combine $\sqrt{2}$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3.1.2.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{0}{\frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{2} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3.1.2.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{0}{\frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{2} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3.1.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{0}{\frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3.1.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{0}{\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3.1.3

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 1.1.3.3.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{0}{\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3.1.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{0}{\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3.1.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.1.3.3.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0}{\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{0}{\frac{2^{1}}{2} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3.1.3.5

Avalie o expoente.

$\frac{0}{\frac{2}{2} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3.1.4

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (2 θ)}{\sqrt{2} \cos (θ) - 1} = lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ) - 1]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ) - 1]}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ é $f' (g (θ)) g' (θ)$ , em que $f (θ) = \cos (θ)$ e $g (θ) = 2 θ$ .

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Etapa 1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 θ$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d θ} [2 θ]}{\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ) - 1]}$

Etapa 1.3.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d θ} [2 θ]}{\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ) - 1]}$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 θ$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]}{\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ) - 1]}$

Etapa 1.3.3

Como $2$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $2 θ$ em relação a $θ$ é $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (2 θ) (2 \frac{d}{d θ} [θ])}{\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ) - 1]}$

Etapa 1.3.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [θ]}{\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ) - 1]}$

Etapa 1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ é $n θ^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 θ) \cdot 1}{\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ) - 1]}$

Etapa 1.3.6

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 θ)}{\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ) - 1]}$

Etapa 1.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{2} \cos (θ) - 1$ com relação a $θ$ é $\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 1]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 θ)}{\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 1]}$

Etapa 1.3.8

Avalie $\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ)]$ .

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Etapa 1.3.8.1

Como $\sqrt{2}$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $\sqrt{2} \cos (θ)$ em relação a $θ$ é $\sqrt{2} \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 θ)}{\sqrt{2} \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 1]}$

Etapa 1.3.8.2

A derivada de $\cos (θ)$ em relação a $θ$ é $- \sin (θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 θ)}{\sqrt{2} (- \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} [- 1]}$

Etapa 1.3.9

Como $- 1$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $- 1$ em relação a $θ$ é $0$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 θ)}{\sqrt{2} (- \sin (θ)) + 0}$

Etapa 1.3.10

Simplifique.

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Etapa 1.3.10.1

Some $\sqrt{2} (- \sin (θ))$ e $0$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 θ)}{\sqrt{2} (- \sin (θ))}$

Etapa 1.3.10.2

Reordene os fatores de $\sqrt{2} (- \sin (θ))$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 θ)}{- \sqrt{2} \sin (θ)}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $\frac{- 2}{\sqrt{2}}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $θ$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{2}} lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (2 θ)}{- \sin (θ)}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $θ$ se aproxima de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{lim_{θ \to \frac{π}{4}} \sin (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} - \sin (θ)}$

Etapa 2.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{- 2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (lim_{θ \to \frac{π}{4}} 2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} - \sin (θ)}$

Etapa 2.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $θ$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (2 lim_{θ \to \frac{π}{4}} θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} - \sin (θ)}$

Etapa 2.5

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $θ$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (2 lim_{θ \to \frac{π}{4}} θ)}{- lim_{θ \to \frac{π}{4}} \sin (θ)}$

Etapa 2.6

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{- 2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (2 lim_{θ \to \frac{π}{4}} θ)}{- \sin (lim_{θ \to \frac{π}{4}} θ)}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $\frac{π}{4}$ por todas as ocorrências de $θ$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $θ$ substituindo $\frac{π}{4}$ por $θ$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (lim_{θ \to \frac{π}{4}} θ)}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $θ$ substituindo $\frac{π}{4}$ por $θ$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Etapa 4.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Etapa 4.3.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Etapa 4.3.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Etapa 4.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Etapa 4.3.5

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Etapa 4.3.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 4.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Etapa 4.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Etapa 4.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Etapa 4.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Etapa 4.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Etapa 4.3.6.5

Avalie o expoente.

$- \frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Etapa 4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Etapa 4.4.2

Divida $\sqrt{2}$ por $1$ .

$- \sqrt{2} \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Etapa 4.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.5.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.5.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$- \sqrt{2} \frac{\sin (2 \frac{π}{2 (2)})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Etapa 4.5.1.2

Cancele o fator comum.

$- \sqrt{2} \frac{\sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Etapa 4.5.1.3

Reescreva a expressão.

$- \sqrt{2} \frac{\sin (\frac{π}{2})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Etapa 4.5.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$- \sqrt{2} \frac{1}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Etapa 4.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \sqrt{2} \frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Etapa 4.7

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

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Etapa 4.7.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$- \sqrt{2} \frac{- 1 (- 1)}{- \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Etapa 4.7.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \sqrt{2} (- \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Etapa 4.8

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \sqrt{2} (- (1 \frac{2}{\sqrt{2}}))$

Etapa 4.9

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $1$ .

$- \sqrt{2} (- \frac{2}{\sqrt{2}})$

Etapa 4.10

Cancele o fator comum de $\sqrt{2}$ .

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Etapa 4.10.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{\sqrt{2}}$ para o numerador.

$- \sqrt{2} \frac{- 2}{\sqrt{2}}$

Etapa 4.10.2

Fatore $\sqrt{2}$ de $- \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2} \cdot - 1 \frac{- 2}{\sqrt{2}}$

Etapa 4.10.3

Cancele o fator comum.

$\sqrt{2} \cdot - 1 \frac{- 2}{\sqrt{2}}$

Etapa 4.10.4

Reescreva a expressão.

$- - 2$

Etapa 4.11

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$2$