Cálculo Exemplos

$\arcsin (x) = \ln (y)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\arcsin (x)) = \frac{d}{d x} (\ln (y))$

Etapa 2

A derivada de $\arcsin (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{y} y'$

Etapa 3.3

Combine $\frac{1}{y}$ e $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \frac{y'}{y}$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $\frac{y'}{y} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Etapa 5.2

Multiplique os dois lados por $y$ .

$\frac{y'}{y} y = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} y$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.1.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y'}{y} y = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} y$

Etapa 5.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} y$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.1

Simplifique $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} y$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.3.2.1.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y' = \frac{1}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}} y$

Etapa 5.3.2.1.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$y' = \frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} y$

Etapa 5.3.2.1.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ por $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$y' = \frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} y$

Etapa 5.3.2.1.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 5.3.2.1.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ por $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}} y$

Etapa 5.3.2.1.3.2

Eleve $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ à potência de $1$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}} y$

Etapa 5.3.2.1.3.3

Eleve $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ à potência de $1$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}} y$

Etapa 5.3.2.1.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}} y$

Etapa 5.3.2.1.3.5

Some $1$ e $1$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}} y$

Etapa 5.3.2.1.3.6

Reescreva ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ como $(1 + x) (1 - x)$ .

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Etapa 5.3.2.1.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ como ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} y$

Etapa 5.3.2.1.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} y$

Etapa 5.3.2.1.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}} y$

Etapa 5.3.2.1.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.2.1.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}} y$

Etapa 5.3.2.1.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}} y$

Etapa 5.3.2.1.3.6.5

Simplifique.

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)} y$

Etapa 5.3.2.1.4

Combine $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$ e $y$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} y}{(1 + x) (1 - x)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} y}{(1 + x) (1 - x)}$