Cálculo Exemplos

$y = {\cos (x)}^{x}$

Etapa 1

Mantenha $y = f (x)$ , calcule o logaritmo natural dos dois lados $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln ({\cos (x)}^{x})$

Etapa 2

Expanda $\ln ({\cos (x)}^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$\ln (y) = x \ln (\cos (x))$

Etapa 3

Diferencie a expressão usando a regra da cadeia, lembrando que $y$ é uma função de $x$ .

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Etapa 3.1

Diferencie o lado esquerdo $\ln (y)$ usando a regra da cadeia.

$\frac{y'}{y} = x \ln (\cos (x))$

Etapa 3.2

Diferencie o lado direito.

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Etapa 3.2.1

Diferencie $x \ln (\cos (x))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (x))]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (\cos (x))$ .

$\frac{y'}{y} = x \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))] + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 3.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\cos (x)$ .

$\frac{y'}{y} = x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2.3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{y'}{y} = x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$\frac{y'}{y} = x (\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2.4

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2.5

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (x) (- \sin (x))) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 3.2.6.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (x) (- \sin (x))) + \ln (\cos (x)) \cdot 1$

Etapa 3.2.6.2

Multiplique $\ln (\cos (x))$ por $1$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (x) (- \sin (x))) + \ln (\cos (x))$

Etapa 3.2.7

Simplifique.

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Etapa 3.2.7.1

Reordene os termos.

$\frac{y'}{y} = - x \sec (x) \sin (x) + \ln (\cos (x))$

Etapa 3.2.7.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.7.2.1

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{y'}{y} = - x \frac{1}{\cos (x)} \sin (x) + \ln (\cos (x))$

Etapa 3.2.7.2.2

Combine $\frac{1}{\cos (x)}$ e $x$ .

$\frac{y'}{y} = - \frac{x}{\cos (x)} \sin (x) + \ln (\cos (x))$

Etapa 3.2.7.2.3

Combine $\sin (x)$ e $\frac{x}{\cos (x)}$ .

$\frac{y'}{y} = - \frac{\sin (x) x}{\cos (x)} + \ln (\cos (x))$

Etapa 3.2.7.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.7.3.1

Separe as frações.

$\frac{y'}{y} = - (\frac{x}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \ln (\cos (x))$

Etapa 3.2.7.3.2

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\frac{y'}{y} = - (\frac{x}{1} \tan (x)) + \ln (\cos (x))$

Etapa 3.2.7.3.3

Divida $x$ por $1$ .

$\frac{y'}{y} = - x \tan (x) + \ln (\cos (x))$

Etapa 4

Isole $y'$ e substitua a função original por $y$ no lado direito.

$y' = (- x \tan (x) + \ln (\cos (x))) {\cos (x)}^{x}$

Etapa 5

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.1

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$y' = (- x \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \ln (\cos (x))) {\cos (x)}^{x}$

Etapa 5.1.2

Combine $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ e $x$ .

$y' = (- \frac{\sin (x) x}{\cos (x)} + \ln (\cos (x))) {\cos (x)}^{x}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y' = - \frac{\sin (x) x}{\cos (x)} {\cos (x)}^{x} + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

Etapa 5.3

Combine ${\cos (x)}^{x}$ e $\frac{\sin (x) x}{\cos (x)}$ .

$y' = - \frac{{\cos (x)}^{x} (\sin (x) x)}{\cos (x)} + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

Etapa 5.4

Cancele o fator comum de ${\cos (x)}^{x}$ e $\cos (x)$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $\cos (x)$ de ${\cos (x)}^{x} (\sin (x) x)$ .

$y' = - \frac{\cos (x) ({\cos (x)}^{x - 1} (\sin (x) x))}{\cos (x)} + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

Etapa 5.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.4.2.1

Multiplique por $1$ .

$y' = - \frac{\cos (x) ({\cos (x)}^{x - 1} (\sin (x) x))}{\cos (x) \cdot 1} + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = - \frac{\cos (x) ({\cos (x)}^{x - 1} (\sin (x) x))}{\cos (x) \cdot 1} + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

Etapa 5.4.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{{\cos (x)}^{x - 1} (\sin (x) x)}{1} + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

Etapa 5.4.2.4

Divida ${\cos (x)}^{x - 1} (\sin (x) x)$ por $1$ .

$y' = - ({\cos (x)}^{x - 1} (\sin (x) x)) + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

$y' = - {\cos (x)}^{x - 1} \sin (x) x + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

Etapa 5.5

Reordene os fatores em $- {\cos (x)}^{x - 1} \sin (x) x + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$ .

$y' = - x {\cos (x)}^{x - 1} \sin (x) + {\cos (x)}^{x} \ln (\cos (x))$