Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{9} x^{3} - \frac{1}{3} x^{2} - x + 3$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{9} x^{3} - \frac{1}{3} x^{2} - x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $\frac{1}{9}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{9} x^{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{9} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.3

Combine $3$ e $\frac{1}{9}$ .

$\frac{3}{9} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.4

Combine $\frac{3}{9}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{9} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.5

Cancele o fator comum de $3$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Fatore $3$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2})}{9} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$\frac{3 x^{2}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $- \frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{3} x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{1}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2}}{3} - 2 (\frac{1}{3}) x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.3.4

Combine $- 2$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{- 2}{3} x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.3.5

Combine $\frac{- 2}{3}$ e $x$ .

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{- 2 x}{3} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - 1 + 0$

Etapa 1.5.2

Some $\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - 1$ e $0$ .

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - 1$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2 x}{3}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{2}}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2 x}{3}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{2 x}{3}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.2.3

Combine $2$ e $\frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} x + \frac{d}{d x} (- \frac{2 x}{3}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.2.4

Combine $\frac{2}{3}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x}{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{2 x}{3}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- \frac{2}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{2 x}{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3} + 0$

Etapa 2.4.2

Some $\frac{2 x}{3} - \frac{2}{3}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - 1 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $\frac{1}{9}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{9} x^{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{9} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.2.3

Combine $3$ e $\frac{1}{9}$ .

$\frac{3}{9} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.2.4

Combine $\frac{3}{9}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{9} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.2.5

Cancele o fator comum de $3$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.5.1

Fatore $3$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2})}{9} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.5.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$\frac{3 x^{2}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $- \frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{3} x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{1}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2}}{3} - 2 (\frac{1}{3}) x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.3.4

Combine $- 2$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{- 2}{3} x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.3.5

Combine $\frac{- 2}{3}$ e $x$ .

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{- 2 x}{3} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - 1 + 0$

Etapa 4.1.5.2

Some $\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - 1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - 1$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - 1$ .

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - 1$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - 1 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - 1 = 0$

Etapa 5.2

Multiplique cada termo em $\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - 1 = 0$ por $3$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Multiplique cada termo em $\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - 1 = 0$ por $3$ .

$\frac{x^{2}}{3} \cdot 3 - \frac{2 x}{3} \cdot 3 - 1 \cdot 3 = 0 \cdot 3$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2}}{3} \cdot 3 - \frac{2 x}{3} \cdot 3 - 1 \cdot 3 = 0 \cdot 3$

Etapa 5.2.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} - \frac{2 x}{3} \cdot 3 - 1 \cdot 3 = 0 \cdot 3$

Etapa 5.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2 x}{3}$ para o numerador.

$x^{2} + \frac{- 2 x}{3} \cdot 3 - 1 \cdot 3 = 0 \cdot 3$

Etapa 5.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} + \frac{- 2 x}{3} \cdot 3 - 1 \cdot 3 = 0 \cdot 3$

Etapa 5.2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} - 2 x - 1 \cdot 3 = 0 \cdot 3$

Etapa 5.2.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$x^{2} - 2 x - 3 = 0 \cdot 3$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Multiplique $0$ por $3$ .

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$

Etapa 5.3

Fatore $x^{2} - 2 x - 3$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 3$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 3, 1$

Etapa 5.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 3) (x + 1) = 0$

Etapa 5.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 5.5

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 5.5.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 5.6

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 5.6.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 5.7

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 3) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, - 1$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 3, - 1$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 3$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{2 (3)}{3} - \frac{2}{3}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 (3) - 2}{3}$

Etapa 9.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{6 - 2}{3}$

Etapa 9.2.2

Subtraia $2$ de $6$ .

$\frac{4}{3}$

Etapa 10

$x = 3$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 3$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = \frac{1}{9} \cdot {(3)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(3)}^{2} - (3) + 3$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (3) = \frac{1}{9} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot {(3)}^{2} - (3) + 3$

Etapa 11.2.1.2

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.2.1

Fatore $9$ de $27$ .

$f (3) = \frac{1}{9} \cdot (9 (3)) - \frac{1}{3} \cdot {(3)}^{2} - (3) + 3$

Etapa 11.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (3) = \frac{1}{9} \cdot (9 \cdot 3) - \frac{1}{3} \cdot {(3)}^{2} - (3) + 3$

Etapa 11.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (3) = 3 - \frac{1}{3} \cdot {(3)}^{2} - (3) + 3$

Etapa 11.2.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{3}$ para o numerador.

$f (3) = 3 + \frac{- 1}{3} \cdot {(3)}^{2} - (3) + 3$

Etapa 11.2.1.3.2

Fatore $3$ de ${(3)}^{2}$ .

$f (3) = 3 + \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 3) - (3) + 3$

Etapa 11.2.1.3.3

Cancele o fator comum.

$f (3) = 3 + \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 3) - (3) + 3$

Etapa 11.2.1.3.4

Reescreva a expressão.

$f (3) = 3 - 1 \cdot 3 - (3) + 3$

Etapa 11.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f (3) = 3 - 3 - (3) + 3$

Etapa 11.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f (3) = 3 - 3 - 3 + 3$

Etapa 11.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Subtraia $3$ de $3$ .

$f (3) = 0 - 3 + 3$

Etapa 11.2.2.2

Subtraia $3$ de $0$ .

$f (3) = - 3 + 3$

Etapa 11.2.2.3

Some $- 3$ e $3$ .

$f (3) = 0$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{2 (- 1)}{3} - \frac{2}{3}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 (- 1) - 2}{3}$

Etapa 13.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 13.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 - 2}{3}$

Etapa 13.2.2

Subtraia $2$ de $- 2$ .

$\frac{- 4}{3}$

Etapa 13.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4}{3}$

Etapa 14

$x = - 1$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 1$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - 1$ .

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Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = \frac{1}{9} \cdot {(- 1)}^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{2} - (- 1) + 3$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- 1) = \frac{1}{9} \cdot - 1 - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{2} - (- 1) + 3$

Etapa 15.2.1.2

Combine $\frac{1}{9}$ e $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{- 1}{9} - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{2} - (- 1) + 3$

Etapa 15.2.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- 1) = - \frac{1}{9} - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{2} - (- 1) + 3$

Etapa 15.2.1.4

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 15.2.1.4.1

Mova ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{9} + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 (\frac{1}{3})) - (- 1) + 3$

Etapa 15.2.1.4.2

Multiplique ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

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Etapa 15.2.1.4.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{9} + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{1}{3})) - (- 1) + 3$

Etapa 15.2.1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- 1) = - \frac{1}{9} + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{1}{3}) - (- 1) + 3$

Etapa 15.2.1.4.3

Some $2$ e $1$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{9} + {(- 1)}^{3} (\frac{1}{3}) - (- 1) + 3$

Etapa 15.2.1.5

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{9} - \frac{1}{3} - (- 1) + 3$

Etapa 15.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{9} - \frac{1}{3} + 1 + 3$

Etapa 15.2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 15.2.2.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{9} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{3}) + 1 + 3$

Etapa 15.2.2.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + 1 + 3$

Etapa 15.2.2.3

Escreva $1$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{1}{1} + 3$

Etapa 15.2.2.4

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{9}{9} + 3$

Etapa 15.2.2.5

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{9}{9} + 3$

Etapa 15.2.2.6

Escreva $3$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{9}{9} + \frac{3}{1}$

Etapa 15.2.2.7

Multiplique $\frac{3}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{9}{9} + \frac{3}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Etapa 15.2.2.8

Multiplique $\frac{3}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{9}{9} + \frac{3 \cdot 9}{9}$

Etapa 15.2.2.9

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{9} - \frac{3}{9} + \frac{9}{9} + \frac{3 \cdot 9}{9}$

Etapa 15.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 1) = \frac{- 1 - 3 + 9 + 3 \cdot 9}{9}$

Etapa 15.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 15.2.4.1

Multiplique $3$ por $9$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 - 3 + 9 + 27}{9}$

Etapa 15.2.4.2

Subtraia $3$ de $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{- 4 + 9 + 27}{9}$

Etapa 15.2.4.3

Some $- 4$ e $9$ .

$f (- 1) = \frac{5 + 27}{9}$

Etapa 15.2.4.4

Some $5$ e $27$ .

$f (- 1) = \frac{32}{9}$

Etapa 15.2.5

A resposta final é $\frac{32}{9}$ .

$y = \frac{32}{9}$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{1}{9} x^{3} - \frac{1}{3} x^{2} - x + 3$ .

$(3, 0)$ é um mínimo local

$(- 1, \frac{32}{9})$ é um máximo local

Etapa 17