Cálculo Exemplos

$y = x^{\ln (x)}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{\ln (x)})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar a diferenciação.

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Etapa 3.1.1

Reescreva $x^{\ln (x)}$ como $e^{\ln (x^{\ln (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (x)})}]$

Etapa 3.1.2

Expanda $\ln (x^{\ln (x)})$ movendo $\ln (x)$ para fora do logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x)}]$

Etapa 3.2

Eleve $\ln (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln (x)}]$

Etapa 3.3

Eleve $\ln (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln^{1} (x)}]$

Etapa 3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d}{d x} [e^{{\ln (x)}^{1 + 1}}]$

Etapa 3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln^{2} (x)}]$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \ln^{2} (x)$ .

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Etapa 3.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\ln^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Etapa 3.6.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Etapa 3.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\ln^{2} (x)$ .

$e^{\ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

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Etapa 3.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\ln (x)$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Etapa 3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Etapa 3.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\ln (x)$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Etapa 3.8

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (2 \ln (x) \frac{1}{x})$

Etapa 3.9

Combine frações.

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Etapa 3.9.1

Combine $\frac{1}{x}$ e $2$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (\frac{2}{x} \ln (x))$

Etapa 3.9.2

Combine $\frac{2}{x}$ e $\ln (x)$ .

$e^{\ln^{2} (x)} \frac{2 \ln (x)}{x}$

Etapa 3.9.3

Combine $e^{\ln^{2} (x)}$ e $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} (2 \ln (x))}{x}$

Etapa 3.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.10.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 e^{\ln^{2} (x)} \ln (x)}{x}$

Etapa 3.10.2

Multiplique $2 e^{\ln^{2} (x)} \ln (x)$ .

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Etapa 3.10.2.1

Reordene $\ln (x)$ e $2$ .

$\frac{2 \cdot \ln (x) e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

Etapa 3.10.2.2

Simplifique $2 \cdot \ln (x)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

Etapa 3.10.3

Reordene os fatores em $\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x}$