Cálculo Exemplos

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\sin^{2} (2 θ)}{1 - \sin^{2} (θ)}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin^{2} (θ)}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Mova o expoente $2$ de $\sin^{2} (2 θ)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (2 θ))}^{2}}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin^{2} (θ)}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\sin^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin^{2} (θ)}$

Etapa 1.1.2.1.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $θ$ .

$\frac{\sin^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin^{2} (θ)}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $θ$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $θ$ .

$\frac{\sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin^{2} (θ)}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin^{2} (θ)}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sin^{2} (π)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin^{2} (θ)}$

Etapa 1.1.2.3.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{\sin^{2} (0)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin^{2} (θ)}$

Etapa 1.1.2.3.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin^{2} (θ)}$

Etapa 1.1.2.3.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin^{2} (θ)}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $θ$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ)}$

Etapa 1.1.3.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $θ$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{1 - lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ)}$

Etapa 1.1.3.1.3

Mova o expoente $2$ de $\sin^{2} (θ)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{1 - {(lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (θ))}^{2}}$

Etapa 1.1.3.1.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{0}{1 - \sin^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $θ$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $θ$ .

$\frac{0}{1 - \sin^{2} (\frac{π}{2})}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{0}{\cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Etapa 1.1.3.3.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\sin^{2} (2 θ)}{1 - \sin^{2} (θ)} = lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ é $f' (g (θ)) g' (θ)$ , em que $f (θ) = θ^{2}$ e $g (θ) = \sin (2 θ)$ .

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Etapa 1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sin (2 θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Etapa 1.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 u_{1} \frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sin (2 θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ é $f' (g (θ)) g' (θ)$ , em que $f (θ) = \sin (θ)$ e $g (θ) = 2 θ$ .

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Etapa 1.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 θ$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin (2 θ) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d θ} [2 θ])}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Etapa 1.3.3.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin (2 θ) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d θ} [2 θ])}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Etapa 1.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 θ$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin (2 θ) (\cos (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ])}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Etapa 1.3.4

Como $2$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $2 θ$ em relação a $θ$ é $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin (2 θ) \cos (2 θ) (2 \frac{d}{d θ} [θ])}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Etapa 1.3.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \sin (2 θ) \cos (2 θ) \frac{d}{d θ} [θ]}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ é $n θ^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \sin (2 θ) \cos (2 θ) \cdot 1}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Etapa 1.3.7

Multiplique $4$ por $1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \sin (2 θ) \cos (2 θ)}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Etapa 1.3.8

Reordene os fatores de $4 \sin (2 θ) \cos (2 θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Etapa 1.3.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \sin^{2} (θ)$ com relação a $θ$ é $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin^{2} (θ)]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin^{2} (θ)]}$

Etapa 1.3.10

Como $1$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $1$ em relação a $θ$ é $0$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{0 + \frac{d}{d θ} [- \sin^{2} (θ)]}$

Etapa 1.3.11

Avalie $\frac{d}{d θ} [- \sin^{2} (θ)]$ .

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Etapa 1.3.11.1

Como $- 1$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $- \sin^{2} (θ)$ em relação a $θ$ é $- \frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{0 - \frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]}$

Etapa 1.3.11.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ é $f' (g (θ)) g' (θ)$ , em que $f (θ) = θ^{2}$ e $g (θ) = \sin (θ)$ .

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Etapa 1.3.11.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sin (θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{0 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\sin (θ)])}$

Etapa 1.3.11.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{0 - (2 u \frac{d}{d θ} [\sin (θ)])}$

Etapa 1.3.11.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{0 - (2 \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)])}$

Etapa 1.3.11.3

A derivada de $\sin (θ)$ em relação a $θ$ é $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{0 - (2 \sin (θ) \cos (θ))}$

Etapa 1.3.11.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{0 - 2 \sin (θ) \cos (θ)}$

Etapa 1.3.12

Simplifique.

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Etapa 1.3.12.1

Subtraia $2 \sin (θ) \cos (θ)$ de $0$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{- 2 \sin (θ) \cos (θ)}$

Etapa 1.3.12.2

Reordene os fatores de $- 2 \sin (θ) \cos (θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{- 2 \cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $4$ e $- 2$ .

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Etapa 1.4.1

Fatore $2$ de $4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 (2 \cos (2 θ) \sin (2 θ))}{- 2 \cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Fatore $2$ de $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 (2 \cos (2 θ) \sin (2 θ))}{2 (- \cos (θ) \sin (θ))}$

Etapa 1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 (2 \cos (2 θ) \sin (2 θ))}{2 (- \cos (θ) \sin (θ))}$

Etapa 1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{- \cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $θ$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (2 θ) \sin (2 θ)}{- \cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$2 \frac{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 3.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $θ$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$2 \frac{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 θ) \cdot lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 3.1.2.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$2 \frac{\cos (lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 θ) \cdot lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 3.1.2.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $θ$ .

$2 \frac{\cos (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) \cdot lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 3.1.2.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$2 \frac{\cos (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) \cdot \sin (lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 3.1.2.5

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $θ$ .

$2 \frac{\cos (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) \cdot \sin (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 3.1.2.6

Avalie os limites substituindo $\frac{π}{2}$ por todas as ocorrências de $θ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.6.1

Avalie o limite de $θ$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $θ$ .

$2 \frac{\cos (2 \frac{π}{2}) \cdot \sin (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 3.1.2.6.2

Avalie o limite de $θ$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $θ$ .

$2 \frac{\cos (2 \frac{π}{2}) \cdot \sin (2 \frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 3.1.2.7

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.7.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.7.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{\cos (2 \frac{π}{2}) \cdot \sin (2 \frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 3.1.2.7.1.2

Reescreva a expressão.

$2 \frac{\cos (π) \cdot \sin (2 \frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 3.1.2.7.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$2 \frac{- \cos (0) \cdot \sin (2 \frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 3.1.2.7.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$2 \frac{- 1 \cdot 1 \cdot \sin (2 \frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 3.1.2.7.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 \frac{- 1 \cdot \sin (2 \frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 3.1.2.7.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.7.5.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{- 1 \cdot \sin (2 \frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 3.1.2.7.5.2

Reescreva a expressão.

$2 \frac{- 1 \cdot \sin (π)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 3.1.2.7.6

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$2 \frac{- 1 \cdot \sin (0)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 3.1.2.7.7

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$2 \frac{- 1 \cdot 0}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 3.1.2.7.8

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$2 \frac{0}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $θ$ .

$2 \frac{0}{- lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 3.1.3.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $θ$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$2 \frac{0}{- lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (θ) \cdot lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (θ)}$

Etapa 3.1.3.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$2 \frac{0}{- \cos (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) \cdot lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (θ)}$

Etapa 3.1.3.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$2 \frac{0}{- \cos (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) \cdot \sin (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Etapa 3.1.3.5

Avalie os limites substituindo $\frac{π}{2}$ por todas as ocorrências de $θ$ .

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Etapa 3.1.3.5.1

Avalie o limite de $θ$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $θ$ .

$2 \frac{0}{- \cos (\frac{π}{2}) \cdot \sin (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Etapa 3.1.3.5.2

Avalie o limite de $θ$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $θ$ .

$2 \frac{0}{- \cos (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2})}$

Etapa 3.1.3.6

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.6.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$2 \frac{0}{- 0 \cdot \sin (\frac{π}{2})}$

Etapa 3.1.3.6.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$2 \frac{0}{0 \cdot \sin (\frac{π}{2})}$

Etapa 3.1.3.6.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$2 \frac{0}{0 \cdot 1}$

Etapa 3.1.3.6.4

Multiplique $0$ por $1$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Etapa 3.1.3.6.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$2 (\frac{0}{0})$

Etapa 3.1.3.7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$2 (\frac{0}{0})$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$2 (\frac{0}{0})$

Etapa 3.2

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (2 θ) \sin (2 θ)}{- \cos (θ) \sin (θ)} = lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d θ} [\cos (2 θ) \sin (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d θ} [\cos (2 θ) \sin (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ é $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ , em que $f (θ) = \cos (2 θ)$ e $g (θ) = \sin (2 θ)$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)] + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ é $f' (g (θ)) g' (θ)$ , em que $f (θ) = \sin (θ)$ e $g (θ) = 2 θ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 θ$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (2 θ) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d θ} [2 θ] + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Etapa 3.3.3.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (2 θ) \cos (u_{1}) \frac{d}{d θ} [2 θ] + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Etapa 3.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 θ$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (2 θ) \cos (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ] + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Etapa 3.3.4

Eleve $\cos (2 θ)$ à potência de $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos^{1} (2 θ) \cos (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ] + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Etapa 3.3.5

Eleve $\cos (2 θ)$ à potência de $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos^{1} (2 θ) \cos^{1} (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ] + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Etapa 3.3.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{{\cos (2 θ)}^{1 + 1} \frac{d}{d θ} [2 θ] + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Etapa 3.3.7

Some $1$ e $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ] + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Etapa 3.3.8

Como $2$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $2 θ$ em relação a $θ$ é $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (2 θ) \cdot 2 \frac{d}{d θ} [θ] + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Etapa 3.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ é $n θ^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (2 θ) \cdot 2 \cdot 1 + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Etapa 3.3.10

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (2 θ) \cdot 2 + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Etapa 3.3.11

Mova $2$ para a esquerda de $\cos^{2} (2 θ)$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cdot \cos^{2} (2 θ) + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Etapa 3.3.12

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ é $f' (g (θ)) g' (θ)$ , em que $f (θ) = \cos (θ)$ e $g (θ) = 2 θ$ .

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Etapa 3.3.12.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 θ$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) + \sin (2 θ) \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d θ} [2 θ]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Etapa 3.3.12.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) + \sin (2 θ) \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d θ} [2 θ]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Etapa 3.3.12.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 θ$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) + \sin (2 θ) \cdot - 1 \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Etapa 3.3.13

Eleve $\sin (2 θ)$ à potência de $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - \sin^{1} (2 θ) \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Etapa 3.3.14

Eleve $\sin (2 θ)$ à potência de $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - \sin^{1} (2 θ) \sin^{1} (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Etapa 3.3.15

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - {\sin (2 θ)}^{1 + 1} \frac{d}{d θ} [2 θ]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Etapa 3.3.16

Some $1$ e $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - \sin^{2} (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Etapa 3.3.17

Como $2$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $2 θ$ em relação a $θ$ é $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - \sin^{2} (2 θ) \cdot 2 \frac{d}{d θ} [θ]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Etapa 3.3.18

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ) \frac{d}{d θ} [θ]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Etapa 3.3.19

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ é $n θ^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ) \cdot 1}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Etapa 3.3.20

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Etapa 3.3.21

Como $- 1$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $- \cos (θ) \sin (θ)$ em relação a $θ$ é $- \frac{d}{d θ} [\cos (θ) \sin (θ)]$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- \frac{d}{d θ} [\cos (θ) \sin (θ)]}$

Etapa 3.3.22

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ é $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ , em que $f (θ) = \cos (θ)$ e $g (θ) = \sin (θ)$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- (\cos (θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)] + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])}$

Etapa 3.3.23

A derivada de $\sin (θ)$ em relação a $θ$ é $\cos (θ)$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])}$

Etapa 3.3.24

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- (\cos^{1} (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])}$

Etapa 3.3.25

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- (\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])}$

Etapa 3.3.26

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- ({\cos (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])}$

Etapa 3.3.27

Some $1$ e $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- (\cos^{2} (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])}$

Etapa 3.3.28

A derivada de $\cos (θ)$ em relação a $θ$ é $- \sin (θ)$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- (\cos^{2} (θ) + \sin (θ) \cdot - 1 \sin (θ))}$

Etapa 3.3.29

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- (\cos^{2} (θ) - \sin^{1} (θ) \sin (θ))}$

Etapa 3.3.30

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- (\cos^{2} (θ) - \sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ))}$

Etapa 3.3.31

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- (\cos^{2} (θ) - {\sin (θ)}^{1 + 1})}$

Etapa 3.3.32

Some $1$ e $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))}$

Etapa 3.3.33

Simplifique.

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Etapa 3.3.33.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- \cos^{2} (θ) - - 1 \sin^{2} (θ)}$

Etapa 3.3.33.2

Combine os termos.

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Etapa 3.3.33.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- \cos^{2} (θ) + 1 \sin^{2} (θ)}$

Etapa 3.3.33.2.2

Multiplique $\sin^{2} (θ)$ por $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- \cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)}$

Etapa 3.3.33.3

Reordene $- \cos^{2} (θ)$ e $\sin^{2} (θ)$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Etapa 3.3.33.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \sin (θ)$ e $b = \cos (θ)$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{(\sin (θ) + \cos (θ)) (\sin (θ) - \cos (θ))}$

Etapa 3.3.33.5

Expanda $(\sin (θ) + \cos (θ)) (\sin (θ) - \cos (θ))$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.3.33.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin (θ) (\sin (θ) - \cos (θ)) + \cos (θ) (\sin (θ) - \cos (θ))}$

Etapa 3.3.33.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \cdot - 1 \cos (θ) + \cos (θ) (\sin (θ) - \cos (θ))}$

Etapa 3.3.33.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \cdot - 1 \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cdot - 1 \cos (θ)}$

Etapa 3.3.33.6

Combine os termos opostos em $\sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) (- \cos (θ)) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) (- \cos (θ))$ .

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Etapa 3.3.33.6.1

Reorganize os fatores nos termos $\sin (θ) (- \cos (θ))$ e $\cos (θ) \sin (θ)$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin (θ) \sin (θ) - \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cdot - 1 \cos (θ)}$

Etapa 3.3.33.6.2

Some $- \cos (θ) \sin (θ)$ e $\cos (θ) \sin (θ)$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin (θ) \sin (θ) + 0 + \cos (θ) \cdot - 1 \cos (θ)}$

Etapa 3.3.33.6.3

Some $\sin (θ) \sin (θ)$ e $0$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cdot - 1 \cos (θ)}$

Etapa 3.3.33.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.33.7.1

Multiplique $\sin (θ) \sin (θ)$ .

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Etapa 3.3.33.7.1.1

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin^{1} (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cdot - 1 \cos (θ)}$

Etapa 3.3.33.7.1.2

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ) + \cos (θ) \cdot - 1 \cos (θ)}$

Etapa 3.3.33.7.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{{\sin (θ)}^{1 + 1} + \cos (θ) \cdot - 1 \cos (θ)}$

Etapa 3.3.33.7.1.4

Some $1$ e $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin^{2} (θ) + \cos (θ) \cdot - 1 \cos (θ)}$

Etapa 3.3.33.7.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin^{2} (θ) - \cos (θ) \cos (θ)}$

Etapa 3.3.33.7.3

Multiplique $- \cos (θ) \cos (θ)$ .

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Etapa 3.3.33.7.3.1

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin^{2} (θ) - \cos^{1} (θ) \cos (θ)}$

Etapa 3.3.33.7.3.2

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin^{2} (θ) - \cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}$

Etapa 3.3.33.7.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin^{2} (θ) - {\cos (θ)}^{1 + 1}}$

Etapa 3.3.33.7.3.4

Some $1$ e $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $θ$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$2 \frac{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Etapa 4.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $θ$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$2 \frac{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 \cos^{2} (2 θ) - lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Etapa 4.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $θ$ .

$2 \frac{2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (2 θ) - lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Etapa 4.4

Mova o expoente $2$ de $\cos^{2} (2 θ)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$2 \frac{2 {(lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 θ))}^{2} - lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Etapa 4.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$2 \frac{2 \cos^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 θ) - lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Etapa 4.6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $θ$ .

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Etapa 4.7

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $θ$ .

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - 2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Etapa 4.8

Mova o expoente $2$ de $\sin^{2} (2 θ)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - 2 {(lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (2 θ))}^{2}}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Etapa 4.9

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - 2 \sin^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Etapa 4.10

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $θ$ .

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - 2 \sin^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Etapa 4.11

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $θ$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - 2 \sin^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ) - lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (θ)}$

Etapa 4.12

Mova o expoente $2$ de $\sin^{2} (θ)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - 2 \sin^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{{(lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (θ))}^{2} - lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (θ)}$

Etapa 4.13

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - 2 \sin^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{\sin^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (θ)}$

Etapa 4.14

Mova o expoente $2$ de $\cos^{2} (θ)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - 2 \sin^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{\sin^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - {(lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (θ))}^{2}}$

Etapa 4.15

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - 2 \sin^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{\sin^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - \cos^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Etapa 5

Avalie os limites substituindo $\frac{π}{2}$ por todas as ocorrências de $θ$ .

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Etapa 5.1

Avalie o limite de $θ$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $θ$ .

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 \frac{π}{2}) - 2 \sin^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{\sin^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - \cos^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Etapa 5.2

Avalie o limite de $θ$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $θ$ .

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 \frac{π}{2}) - 2 \sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{\sin^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - \cos^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Etapa 5.3

Avalie o limite de $θ$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $θ$ .

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 \frac{π}{2}) - 2 \sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Etapa 5.4

Avalie o limite de $θ$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $θ$ .

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 \frac{π}{2}) - 2 \sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 \frac{π}{2}) - 2 \sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Etapa 6.1.1.2

Reescreva a expressão.

$2 \frac{2 \cos^{2} (π) - 2 \sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Etapa 6.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$2 \frac{2 {(- \cos (0))}^{2} - 2 \sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Etapa 6.1.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$2 \frac{2 {(- 1 \cdot 1)}^{2} - 2 \sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Etapa 6.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 \frac{2 {(- 1)}^{2} - 2 \sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Etapa 6.1.5

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$2 \frac{2 \cdot 1 - 2 \sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Etapa 6.1.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 \frac{2 - 2 \sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Etapa 6.1.7

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.1.7.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{2 - 2 \sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Etapa 6.1.7.2

Reescreva a expressão.

$2 \frac{2 - 2 \sin^{2} (π)}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Etapa 6.1.8

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$2 \frac{2 - 2 \sin^{2} (0)}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Etapa 6.1.9

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$2 \frac{2 - 2 \cdot 0^{2}}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Etapa 6.1.10

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$2 \frac{2 - 2 \cdot 0}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Etapa 6.1.11

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$2 \frac{2 + 0}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Etapa 6.1.12

Some $2$ e $0$ .

$2 \frac{2}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Etapa 6.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$2 \frac{2}{1^{2} - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Etapa 6.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$2 \frac{2}{1 - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Etapa 6.2.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$2 \frac{2}{1 - 0^{2}}$

Etapa 6.2.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$2 \frac{2}{1 - 0}$

Etapa 6.2.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$2 \frac{2}{1 + 0}$

Etapa 6.2.6

Some $1$ e $0$ .

$2 (\frac{2}{1})$

Etapa 6.3

Divida $2$ por $1$ .

$2 \cdot 2$

Etapa 6.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$4$