Cálculo Exemplos

$y = x^{4} - 2 x^{3} - 11 x^{2} + 12 x + 36$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 2 x^{3} - 11 x^{2} + 12 x + 36$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [36]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [36]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [36]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 x^{3} - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [36]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [36]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 11 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 11 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 11 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 11 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [36]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 11 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [36]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $- 11$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 22 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [36]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 22 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [36]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 22 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [36]$

Etapa 1.4.3

Multiplique $12$ por $1$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 22 x + 12 + \frac{d}{d x} [36]$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.5.1

Como $36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 22 x + 12 + 0$

Etapa 1.5.2

Some $4 x^{3} - 6 x^{2} - 22 x + 12$ e $0$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 22 x + 12$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 6 x^{2} - 22 x + 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 22 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 22 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 22 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 22 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 22 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 22 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 22 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} (- 22 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 22 x]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 22$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 22 x$ em relação a $x$ é $- 22 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 x - 22 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (12)$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 x - 22 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (12)$

Etapa 2.4.3

Multiplique $- 22$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 x - 22 + \frac{d}{d x} (12)$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.5.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 x - 22 + 0$

Etapa 2.5.2

Some $12 x^{2} - 12 x - 22$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 x - 22$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 22 x + 12 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

Diferencie.

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Etapa 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [36]$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [36]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [36]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 x^{3} - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [36]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [36]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 11 x^{2}]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $- 11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 11 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 11 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 11 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [36]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 11 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [36]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 11$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 22 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [36]$

Etapa 4.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Etapa 4.1.4.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 22 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [36]$

Etapa 4.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 22 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [36]$

Etapa 4.1.4.3

Multiplique $12$ por $1$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 22 x + 12 + \frac{d}{d x} [36]$

Etapa 4.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.5.1

Como $36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 22 x + 12 + 0$

Etapa 4.1.5.2

Some $4 x^{3} - 6 x^{2} - 22 x + 12$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2} - 22 x + 12$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} - 6 x^{2} - 22 x + 12$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 22 x + 12$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} - 6 x^{2} - 22 x + 12 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 22 x + 12 = 0$

Etapa 5.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.2.1

Fatore $2$ de $4 x^{3} - 6 x^{2} - 22 x + 12$ .

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Etapa 5.2.1.1

Fatore $2$ de $4 x^{3}$ .

$2 (2 x^{3}) - 6 x^{2} - 22 x + 12 = 0$

Etapa 5.2.1.2

Fatore $2$ de $- 6 x^{2}$ .

$2 (2 x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) - 22 x + 12 = 0$

Etapa 5.2.1.3

Fatore $2$ de $- 22 x$ .

$2 (2 x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (- 11 x) + 12 = 0$

Etapa 5.2.1.4

Fatore $2$ de $12$ .

$2 (2 x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (- 11 x) + 2 (6) = 0$

Etapa 5.2.1.5

Fatore $2$ de $2 (2 x^{3}) + 2 (- 3 x^{2})$ .

$2 (2 x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (- 11 x) + 2 (6) = 0$

Etapa 5.2.1.6

Fatore $2$ de $2 (2 x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (- 11 x)$ .

$2 (2 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x) + 2 (6) = 0$

Etapa 5.2.1.7

Fatore $2$ de $2 (2 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x) + 2 (6)$ .

$2 (2 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x + 6) = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore $2 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x + 6$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 5.2.2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 5.2.2.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 1.5$

Etapa 5.2.2.3

Substitua $0.5$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $0.5$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 5.2.2.3.1

Substitua $0.5$ no polinômio.

$2 \cdot {0.5}^{3} - 3 \cdot {0.5}^{2} - 11 \cdot 0.5 + 6$

Etapa 5.2.2.3.2

Eleve $0.5$ à potência de $3$ .

$2 \cdot 0.125 - 3 \cdot {0.5}^{2} - 11 \cdot 0.5 + 6$

Etapa 5.2.2.3.3

Multiplique $2$ por $0.125$ .

$0.25 - 3 \cdot {0.5}^{2} - 11 \cdot 0.5 + 6$

Etapa 5.2.2.3.4

Eleve $0.5$ à potência de $2$ .

$0.25 - 3 \cdot 0.25 - 11 \cdot 0.5 + 6$

Etapa 5.2.2.3.5

Multiplique $- 3$ por $0.25$ .

$0.25 - 0.75 - 11 \cdot 0.5 + 6$

Etapa 5.2.2.3.6

Subtraia $0.75$ de $0.25$ .

$- 0.5 - 11 \cdot 0.5 + 6$

Etapa 5.2.2.3.7

Multiplique $- 11$ por $0.5$ .

$- 0.5 - 5.5 + 6$

Etapa 5.2.2.3.8

Subtraia $5.5$ de $- 0.5$ .

$- 6 + 6$

Etapa 5.2.2.3.9

Some $- 6$ e $6$ .

$0$

Etapa 5.2.2.4

Como $0.5$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $2 x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x + 6}{2 x - 1}$

Etapa 5.2.2.5

Divida $2 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x + 6$ por $2 x - 1$ .

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Etapa 5.2.2.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$11 x$

$6$

Etapa 5.2.2.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$

Etapa 5.2.2.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 5.2.2.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 5.2.2.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Etapa 5.2.2.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$

Etapa 5.2.2.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$

Etapa 5.2.2.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$

Etapa 5.2.2.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 x^{2} + x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$

Etapa 5.2.2.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$12 x$

Etapa 5.2.2.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$12 x$	+	$6$

Etapa 5.2.2.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 12 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$12 x$	+	$6$

Etapa 5.2.2.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$12 x$	+	$6$
							-	$12 x$	+	$6$

Etapa 5.2.2.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 12 x + 6$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$12 x$	+	$6$
							+	$12 x$	-	$6$

Etapa 5.2.2.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$12 x$	+	$6$
							+	$12 x$	-	$6$
										$0$

Etapa 5.2.2.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - x - 6$

Etapa 5.2.2.6

Escreva $2 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x + 6$ como um conjunto de fatores.

$2 ((2 x - 1) (x^{2} - x - 6)) = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Fatore $x^{2} - x - 6$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1

Fatore $x^{2} - x - 6$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 6$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 3, 2$

Etapa 5.2.3.1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$2 ((2 x - 1) ((x - 3) (x + 2))) = 0$

Etapa 5.2.3.1.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 ((2 x - 1) (x - 3) (x + 2)) = 0$

Etapa 5.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (2 x - 1) (x - 3) (x + 2) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 5.4

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $2 x - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x = 1$

Etapa 5.4.2.2

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 5.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 5.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 5.5

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 5.5.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 5.6

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 5.6.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 5.7

A solução final são todos os valores que tornam $2 (2 x - 1) (x - 3) (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1}{2}, 3, - 2$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{1}{2}, 3, - 2$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{1}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(\frac{1}{2})}^{2} - 12 (\frac{1}{2}) - 22$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$12 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 12 (\frac{1}{2}) - 22$

Etapa 9.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$12 \frac{1}{2^{2}} - 12 (\frac{1}{2}) - 22$

Etapa 9.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$12 (\frac{1}{4}) - 12 (\frac{1}{2}) - 22$

Etapa 9.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.4.1

Fatore $4$ de $12$ .

$4 (3) \frac{1}{4} - 12 (\frac{1}{2}) - 22$

Etapa 9.1.4.2

Cancele o fator comum.

$4 \cdot 3 \frac{1}{4} - 12 (\frac{1}{2}) - 22$

Etapa 9.1.4.3

Reescreva a expressão.

$3 - 12 (\frac{1}{2}) - 22$

Etapa 9.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.5.1

Fatore $2$ de $- 12$ .

$3 + 2 (- 6) \frac{1}{2} - 22$

Etapa 9.1.5.2

Cancele o fator comum.

$3 + 2 \cdot - 6 \frac{1}{2} - 22$

Etapa 9.1.5.3

Reescreva a expressão.

$3 - 6 - 22$

Etapa 9.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Subtraia $6$ de $3$ .

$- 3 - 22$

Etapa 9.2.2

Subtraia $22$ de $- 3$ .

$- 25$

Etapa 10

$x = \frac{1}{2}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{1}{2}$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{2}$ na expressão.

$f (\frac{1}{2}) = {(\frac{1}{2})}^{4} - 2 {(\frac{1}{2})}^{3} - 11 {(\frac{1}{2})}^{2} + 12 (\frac{1}{2}) + 36$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1^{4}}{2^{4}} - 2 {(\frac{1}{2})}^{3} - 11 {(\frac{1}{2})}^{2} + 12 (\frac{1}{2}) + 36$

Etapa 11.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2^{4}} - 2 {(\frac{1}{2})}^{3} - 11 {(\frac{1}{2})}^{2} + 12 (\frac{1}{2}) + 36$

Etapa 11.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - 2 {(\frac{1}{2})}^{3} - 11 {(\frac{1}{2})}^{2} + 12 (\frac{1}{2}) + 36$

Etapa 11.2.1.4

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - 2 \frac{1^{3}}{2^{3}} - 11 {(\frac{1}{2})}^{2} + 12 (\frac{1}{2}) + 36$

Etapa 11.2.1.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - 2 \frac{1}{2^{3}} - 11 {(\frac{1}{2})}^{2} + 12 (\frac{1}{2}) + 36$

Etapa 11.2.1.6

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - 2 (\frac{1}{8}) - 11 {(\frac{1}{2})}^{2} + 12 (\frac{1}{2}) + 36$

Etapa 11.2.1.7

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.7.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + 2 (- 1) (\frac{1}{8}) - 11 {(\frac{1}{2})}^{2} + 12 (\frac{1}{2}) + 36$

Etapa 11.2.1.7.2

Fatore $2$ de $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 4}) - 11 {(\frac{1}{2})}^{2} + 12 (\frac{1}{2}) + 36$

Etapa 11.2.1.7.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 4}) - 11 {(\frac{1}{2})}^{2} + 12 (\frac{1}{2}) + 36$

Etapa 11.2.1.7.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - 1 (\frac{1}{4}) - 11 {(\frac{1}{2})}^{2} + 12 (\frac{1}{2}) + 36$

Etapa 11.2.1.8

Reescreva $- 1 (\frac{1}{4})$ como $- (\frac{1}{4})$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - (\frac{1}{4}) - 11 {(\frac{1}{2})}^{2} + 12 (\frac{1}{2}) + 36$

Etapa 11.2.1.9

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - \frac{1}{4} - 11 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 12 (\frac{1}{2}) + 36$

Etapa 11.2.1.10

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - \frac{1}{4} - 11 \frac{1}{2^{2}} + 12 (\frac{1}{2}) + 36$

Etapa 11.2.1.11

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - \frac{1}{4} - 11 (\frac{1}{4}) + 12 (\frac{1}{2}) + 36$

Etapa 11.2.1.12

Combine $- 11$ e $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - \frac{1}{4} + \frac{- 11}{4} + 12 (\frac{1}{2}) + 36$

Etapa 11.2.1.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - \frac{1}{4} - \frac{11}{4} + 12 (\frac{1}{2}) + 36$

Etapa 11.2.1.14

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.14.1

Fatore $2$ de $12$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - \frac{1}{4} - \frac{11}{4} + 2 (6) (\frac{1}{2}) + 36$

Etapa 11.2.1.14.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - \frac{1}{4} - \frac{11}{4} + 2 \cdot (6 (\frac{1}{2})) + 36$

Etapa 11.2.1.14.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - \frac{1}{4} - \frac{11}{4} + 6 + 36$

Etapa 11.2.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{1}{2}) = 6 + 36 + \frac{1}{16} + \frac{- 1 - 11}{4}$

Etapa 11.2.2.2

Subtraia $11$ de $- 1$ .

$f (\frac{1}{2}) = 6 + 36 + \frac{1}{16} + \frac{- 12}{4}$

Etapa 11.2.3

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.1

Escreva $6$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{6}{1} + 36 + \frac{1}{16} + \frac{- 12}{4}$

Etapa 11.2.3.2

Multiplique $\frac{6}{1}$ por $\frac{16}{16}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{6}{1} \cdot \frac{16}{16} + 36 + \frac{1}{16} + \frac{- 12}{4}$

Etapa 11.2.3.3

Multiplique $\frac{6}{1}$ por $\frac{16}{16}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{6 \cdot 16}{16} + 36 + \frac{1}{16} + \frac{- 12}{4}$

Etapa 11.2.3.4

Escreva $36$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{6 \cdot 16}{16} + \frac{36}{1} + \frac{1}{16} + \frac{- 12}{4}$

Etapa 11.2.3.5

Multiplique $\frac{36}{1}$ por $\frac{16}{16}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{6 \cdot 16}{16} + \frac{36}{1} \cdot \frac{16}{16} + \frac{1}{16} + \frac{- 12}{4}$

Etapa 11.2.3.6

Multiplique $\frac{36}{1}$ por $\frac{16}{16}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{6 \cdot 16}{16} + \frac{36 \cdot 16}{16} + \frac{1}{16} + \frac{- 12}{4}$

Etapa 11.2.3.7

Multiplique $\frac{- 12}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{6 \cdot 16}{16} + \frac{36 \cdot 16}{16} + \frac{1}{16} + \frac{- 12}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 11.2.3.8

Multiplique $\frac{- 12}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{6 \cdot 16}{16} + \frac{36 \cdot 16}{16} + \frac{1}{16} + \frac{- 12 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Etapa 11.2.3.9

Multiplique $4$ por $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{6 \cdot 16}{16} + \frac{36 \cdot 16}{16} + \frac{1}{16} + \frac{- 12 \cdot 4}{16}$

Etapa 11.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{6 \cdot 16 + 36 \cdot 16 + 1 - 12 \cdot 4}{16}$

Etapa 11.2.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.5.1

Multiplique $6$ por $16$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{96 + 36 \cdot 16 + 1 - 12 \cdot 4}{16}$

Etapa 11.2.5.2

Multiplique $36$ por $16$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{96 + 576 + 1 - 12 \cdot 4}{16}$

Etapa 11.2.5.3

Multiplique $- 12$ por $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{96 + 576 + 1 - 48}{16}$

Etapa 11.2.6

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.6.1

Some $96$ e $576$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{672 + 1 - 48}{16}$

Etapa 11.2.6.2

Some $672$ e $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{673 - 48}{16}$

Etapa 11.2.6.3

Subtraia $48$ de $673$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{625}{16}$

Etapa 11.2.7

A resposta final é $\frac{625}{16}$ .

$y = \frac{625}{16}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = 3$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(3)}^{2} - 12 \cdot 3 - 22$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$12 \cdot 9 - 12 \cdot 3 - 22$

Etapa 13.1.2

Multiplique $12$ por $9$ .

$108 - 12 \cdot 3 - 22$

Etapa 13.1.3

Multiplique $- 12$ por $3$ .

$108 - 36 - 22$

Etapa 13.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Subtraia $36$ de $108$ .

$72 - 22$

Etapa 13.2.2

Subtraia $22$ de $72$ .

$50$

Etapa 14

$x = 3$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 3$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = {(3)}^{4} - 2 {(3)}^{3} - 11 {(3)}^{2} + 12 (3) + 36$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$f (3) = 81 - 2 {(3)}^{3} - 11 {(3)}^{2} + 12 (3) + 36$

Etapa 15.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (3) = 81 - 2 \cdot 27 - 11 {(3)}^{2} + 12 (3) + 36$

Etapa 15.2.1.3

Multiplique $- 2$ por $27$ .

$f (3) = 81 - 54 - 11 {(3)}^{2} + 12 (3) + 36$

Etapa 15.2.1.4

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (3) = 81 - 54 - 11 \cdot 9 + 12 (3) + 36$

Etapa 15.2.1.5

Multiplique $- 11$ por $9$ .

$f (3) = 81 - 54 - 99 + 12 (3) + 36$

Etapa 15.2.1.6

Multiplique $12$ por $3$ .

$f (3) = 81 - 54 - 99 + 36 + 36$

Etapa 15.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Subtraia $54$ de $81$ .

$f (3) = 27 - 99 + 36 + 36$

Etapa 15.2.2.2

Subtraia $99$ de $27$ .

$f (3) = - 72 + 36 + 36$

Etapa 15.2.2.3

Some $- 72$ e $36$ .

$f (3) = - 36 + 36$

Etapa 15.2.2.4

Some $- 36$ e $36$ .

$f (3) = 0$

Etapa 15.2.3

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $x = - 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 - 22$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$12 \cdot 4 - 12 \cdot - 2 - 22$

Etapa 17.1.2

Multiplique $12$ por $4$ .

$48 - 12 \cdot - 2 - 22$

Etapa 17.1.3

Multiplique $- 12$ por $- 2$ .

$48 + 24 - 22$

Etapa 17.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.1

Some $48$ e $24$ .

$72 - 22$

Etapa 17.2.2

Subtraia $22$ de $72$ .

$50$

Etapa 18

$x = - 2$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 2$ é um mínimo local

Etapa 19

Encontre o valor y quando $x = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = {(- 2)}^{4} - 2 {(- 2)}^{3} - 11 {(- 2)}^{2} + 12 (- 2) + 36$

Etapa 19.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$f (- 2) = 16 - 2 {(- 2)}^{3} - 11 {(- 2)}^{2} + 12 (- 2) + 36$

Etapa 19.2.1.2

Multiplique $- 2$ por ${(- 2)}^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.2.1

Multiplique $- 2$ por ${(- 2)}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $1$ .

$f (- 2) = 16 + (- 2) {(- 2)}^{3} - 11 {(- 2)}^{2} + 12 (- 2) + 36$

Etapa 19.2.1.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- 2) = 16 + {(- 2)}^{1 + 3} - 11 {(- 2)}^{2} + 12 (- 2) + 36$

Etapa 19.2.1.2.2

Some $1$ e $3$ .

$f (- 2) = 16 + {(- 2)}^{4} - 11 {(- 2)}^{2} + 12 (- 2) + 36$

Etapa 19.2.1.3

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$f (- 2) = 16 + 16 - 11 {(- 2)}^{2} + 12 (- 2) + 36$

Etapa 19.2.1.4

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f (- 2) = 16 + 16 - 11 \cdot 4 + 12 (- 2) + 36$

Etapa 19.2.1.5

Multiplique $- 11$ por $4$ .

$f (- 2) = 16 + 16 - 44 + 12 (- 2) + 36$

Etapa 19.2.1.6

Multiplique $12$ por $- 2$ .

$f (- 2) = 16 + 16 - 44 - 24 + 36$

Etapa 19.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.2.1

Some $16$ e $16$ .

$f (- 2) = 32 - 44 - 24 + 36$

Etapa 19.2.2.2

Subtraia $44$ de $32$ .

$f (- 2) = - 12 - 24 + 36$

Etapa 19.2.2.3

Subtraia $24$ de $- 12$ .

$f (- 2) = - 36 + 36$

Etapa 19.2.2.4

Some $- 36$ e $36$ .

$f (- 2) = 0$

Etapa 19.2.3

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 20

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{4} - 2 x^{3} - 11 x^{2} + 12 x + 36$ .

$(\frac{1}{2}, \frac{625}{16})$ é um máximo local

$(3, 0)$ é um mínimo local

$(- 2, 0)$ é um mínimo local

Etapa 21