Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{\sqrt{x^{10} + 8 x^{7}}}$

Etapa 1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $x^{7}$ de $x^{10} + 8 x^{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore $x^{7}$ de $x^{10}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{\sqrt{x^{7} x^{3} + 8 x^{7}}}$

Etapa 1.1.2

Fatore $x^{7}$ de $8 x^{7}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{\sqrt{x^{7} x^{3} + x^{7} \cdot 8}}$

Etapa 1.1.3

Fatore $x^{7}$ de $x^{7} x^{3} + x^{7} \cdot 8$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{\sqrt{x^{7} (x^{3} + 8)}}$

Etapa 1.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{\sqrt{x^{7} (x^{3} + 2^{3})}}$

Etapa 1.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{\sqrt{x^{7} ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}))}}$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{\sqrt{x^{7} ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}))}}$

Etapa 1.4.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{\sqrt{x^{7} ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4))}}$

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{\sqrt{x^{7} (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}}$

Etapa 1.5

Reescreva $x^{7} (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ como ${(x^{3})}^{2} (x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Fatore $x^{6}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{\sqrt{x^{6} x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}}$

Etapa 1.5.2

Reescreva $x^{6}$ como ${(x^{3})}^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{\sqrt{{(x^{3})}^{2} x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}}$

Etapa 1.5.3

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{\sqrt{{(x^{3})}^{2} x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})}}$

Etapa 1.5.4

Adicione parênteses.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{\sqrt{{(x^{3})}^{2} x ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}))}}$

Etapa 1.5.5

Adicione parênteses.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{\sqrt{{(x^{3})}^{2} (x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}))}}$

Etapa 1.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{x^{3} \sqrt{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})}}$

Etapa 1.7

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{2}}{x^{3} \sqrt{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}}$

Etapa 2

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x^{5}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{5}}{x^{5}} + \frac{4 x^{2}}{x^{5}}}{\frac{x^{3} \sqrt{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}}{x^{5}}}$

Etapa 3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{5}}{x^{5}} + \frac{4 x^{2}}{x^{5}}}{\frac{x^{3} \sqrt{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}}{x^{5}}}$

Etapa 3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4 x^{2}}{x^{5}}}{\frac{x^{3} \sqrt{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}}{x^{5}}}$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Fatore $x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{x^{2} \cdot 4}{x^{5}}}{\frac{x^{3} \sqrt{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}}{x^{5}}}$

Etapa 3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{5}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} x^{3}}}{\frac{x^{3} \sqrt{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}}{x^{5}}}$

Etapa 3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} x^{3}}}{\frac{x^{3} \sqrt{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}}{x^{5}}}$

Etapa 3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{x^{3} \sqrt{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}}{x^{5}}}$

Etapa 3.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x^{5}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}}{x^{2}}}$

Etapa 3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{(x \cdot x + x \cdot 2) (x^{2} - 2 x + 4)}}{x^{2}}}$

Etapa 3.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{(x^{2} + x \cdot 2) (x^{2} - 2 x + 4)}}{x^{2}}}$

Etapa 3.2.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{(x^{2} + 2 \cdot x) (x^{2} - 2 x + 4)}}{x^{2}}}$

Etapa 4

Expanda $(x^{2} + 2 x) (x^{2} - 2 x + 4)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 4 + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4}}{x^{2}}}$

Etapa 5

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Combine os termos opostos em $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 4 + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1

Reorganize os fatores nos termos $x^{2} (- 2 x)$ e $2 x \cdot x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{x^{2} x^{2} - 2 x^{2} x + x^{2} \cdot 4 + 2 x^{2} x + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4}}{x^{2}}}$

Etapa 5.1.1.2

Some $- 2 x^{2} x$ e $2 x^{2} x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 4 + 0 + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4}}{x^{2}}}$

Etapa 5.1.1.3

Some $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 4$ e $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 4 + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4}}{x^{2}}}$

Etapa 5.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 4 + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4}}{x^{2}}}$

Etapa 5.1.2.1.2

Some $2$ e $2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{x^{4} + x^{2} \cdot 4 + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4}}{x^{2}}}$

Etapa 5.1.2.2

Mova $4$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{x^{4} + 4 \cdot x^{2} + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4}}{x^{2}}}$

Etapa 5.1.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{x^{4} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 2 x \cdot x + 2 x \cdot 4}}{x^{2}}}$

Etapa 5.1.2.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.4.1

Mova $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{x^{4} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 4}}{x^{2}}}$

Etapa 5.1.2.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{x^{4} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 2 x^{2} + 2 x \cdot 4}}{x^{2}}}$

Etapa 5.1.2.5

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{x^{4} + 4 x^{2} - 4 x^{2} + 2 x \cdot 4}}{x^{2}}}$

Etapa 5.1.2.6

Multiplique $4$ por $2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{x^{4} + 4 x^{2} - 4 x^{2} + 8 x}}{x^{2}}}$

Etapa 5.1.3

Combine os termos opostos em $x^{4} + 4 x^{2} - 4 x^{2} + 8 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Subtraia $4 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{x^{4} + 0 + 8 x}}{x^{2}}}$

Etapa 5.1.3.2

Some $x^{4}$ e $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{\sqrt{x^{4} + 8 x}}{x^{2}}}$

Etapa 5.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{4}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{4} + 8 x}}{x^{2}}}$

Etapa 5.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{4} + 8 x}}{x^{2}}}$

Etapa 5.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{4} + 8 x}}{x^{2}}}$

Etapa 5.5

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1 + 4 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{4} + 8 x}}{x^{2}}}$

Etapa 6

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{3}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{4} + 8 x}}{x^{2}}}$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Fatore $x$ de $x^{4} + 8 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x \cdot x^{3} + 8 x}}{x^{2}}}$

Etapa 7.1.2

Fatore $x$ de $8 x$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x \cdot x^{3} + x \cdot 8}}{x^{2}}}$

Etapa 7.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x^{3} + x \cdot 8$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (x^{3} + 8)}}{x^{2}}}$

Etapa 7.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (x^{3} + 2^{3})}}{x^{2}}}$

Etapa 7.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}}{x^{2}}}$

Etapa 7.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})}}{x^{2}}}$

Etapa 7.4.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}}{x^{2}}}$

Etapa 8

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $- \sqrt{x^{4}} = x^{2}$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x^{4}}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}$

Etapa 9

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x^{4}}}}{1}}$

Etapa 9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x \cdot x^{3}}}}{1}}$

Etapa 9.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x \cdot x^{3}}}}{1}}$

Etapa 9.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x^{3}}}}{1}}$

Etapa 9.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 9.4

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 9.5

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x (x^{2} - 2 x + 4) + 2 (x^{2} - 2 x + 4)}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x (x^{2} - 2 x) + x \cdot 4 + 2 (x^{2} - 2 x + 4)}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x^{2} + x \cdot - 2 x + x \cdot 4 + 2 (x^{2} - 2 x + 4)}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.1.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x^{2} + x \cdot - 2 x + x \cdot 4 + 2 (x^{2} - 2 x) + 2 \cdot 4}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.1.2.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x^{2} + x \cdot - 2 x + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + 2 \cdot 4}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.1.2.6

Simplifique com comutação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.2.6.1

Reordene $x$ e $- 2$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x^{2} - 2 \cdot x \cdot x + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + 2 \cdot 4}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.1.2.6.2

Reordene $x$ e $4$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x^{2} - 2 \cdot x \cdot x + 4 \cdot x + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + 2 \cdot 4}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.1.2.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x^{2} - 2 x \cdot x + 4 x + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + 2 \cdot 4}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.1.2.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1 + 2} - 2 x \cdot x + 4 x + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + 2 \cdot 4}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.1.2.9

Some $1$ e $2$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{3} - 2 x \cdot x + 4 x + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + 2 \cdot 4}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.1.2.10

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{3} - 2 x^{1} x + 4 x + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + 2 \cdot 4}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.1.2.11

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{3} - 2 x^{1} x^{1} + 4 x + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + 2 \cdot 4}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.1.2.12

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{3} - 2 x^{1 + 1} + 4 x + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + 2 \cdot 4}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.1.2.13

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.2.13.1

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + 2 \cdot 4}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.1.2.13.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.2.13.2.1

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 4}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.1.2.13.2.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 8}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.1.2.13.2.3

Mova $4 x$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{2} + 4 x - 4 x + 8}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.1.2.13.2.4

Mova $- 2 x^{2}$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} + 4 x - 4 x + 8}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.1.2.13.3

Subtraia $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{3} + 0 + 4 x - 4 x + 8}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.1.2.13.4

Some $x^{3}$ e $0$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{3} + 4 x - 4 x + 8}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.1.2.13.5

Subtraia $4 x$ de $4 x$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{3} + 0 + 8}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.1.2.13.6

Some $x^{3}$ e $0$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{3} + 8}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.1.2.14

O limite no menos infinito de um polinômio de grau ímpar cujo coeficiente de maior ordem é positivo é menos infinito.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.1.3

O limite no menos infinito de um polinômio de grau ímpar cujo coeficiente de maior ordem é positivo é menos infinito.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{- \infty}{- \infty}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{\frac{- \infty}{- \infty}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.2

Como $\frac{- \infty}{- \infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x^{3}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 10.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 10.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x + 2$ e $g (x) = x^{2} - 2 x + 4$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 4] + (x^{2} - 2 x + 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} - 2 x + 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} - 2 x + 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.3.5

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} - 2 x + 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} - 2 x + 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.3.7

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} - 2 x + 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.3.8

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (2 x - 2 + 0) + (x^{2} - 2 x + 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.3.9

Some $2 x - 2$ e $0$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.3.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.3.12

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 4) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.3.13

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 4) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.3.14

Multiplique $x^{2} - 2 x + 4$ por $1$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (2 x - 2) + x^{2} - 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.3.15

Simplifique.

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Etapa 10.3.15.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) \cdot 2 x + (x + 2) \cdot - 2 + x^{2} - 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.3.15.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x \cdot 2 x + 2 \cdot 2 x + (x + 2) \cdot - 2 + x^{2} - 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.3.15.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x \cdot 2 x + 2 \cdot 2 x + x \cdot - 2 + 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.3.15.4

Combine os termos.

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Etapa 10.3.15.4.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{1} x + 2 \cdot 2 x + x \cdot - 2 + 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.3.15.4.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{1} x^{1} + 2 \cdot 2 x + x \cdot - 2 + 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.3.15.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 2 x + x \cdot - 2 + 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.3.15.4.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{2} + 2 \cdot 2 x + x \cdot - 2 + 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.3.15.4.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{2} + 4 x + x \cdot - 2 + 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.3.15.4.6

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{2} + 4 x - 2 \cdot x + 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.3.15.4.7

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{2} + 4 x - 2 x - 4 + x^{2} - 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.3.15.4.8

Subtraia $2 x$ de $4 x$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{2} + 2 x - 4 + x^{2} - 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.3.15.4.9

Some $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.3.15.4.10

Subtraia $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2} + 0 - 4 + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.3.15.4.11

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2} - 4 + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.3.15.4.12

Some $- 4$ e $4$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.3.15.4.13

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.3.16

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2}}{3 x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.4

Reduza.

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Etapa 10.4.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2}}{3 x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.4.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2}}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.4.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 10.4.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2}}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 10.4.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 11

Avalie o limite.

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Etapa 11.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{1}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 11.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{1}}{1}}$

Etapa 11.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 11.3.1

Divida $- \sqrt{1}$ por $1$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 0}{- \sqrt{1}}$

Etapa 11.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.3.2.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{1 + 0}{- \sqrt{1}}$

Etapa 11.3.2.2

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{- \sqrt{1}}$

Etapa 11.3.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{1}{- 1 \cdot 1}$

Etapa 11.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{- 1}$

Etapa 11.3.5

Divida $1$ por $- 1$ .

$- 1$