Cálculo Exemplos

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \tan^{2} (θ) (1 - \sin (θ))$

Etapa 1

Reescreva $\tan^{2} (θ) (1 - \sin (θ))$ como $\frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)}$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)}$

Etapa 2

Determine o limite como um valor crítico esquerdo.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)}$

Etapa 3

Avalie o valor crítico esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} 1 - \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Etapa 3.1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $θ$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} 1 - lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Etapa 3.1.1.2.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $θ$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1 - lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Etapa 3.1.1.2.1.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1 - \sin (lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Etapa 3.1.1.2.2

Avalie o limite de $θ$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $θ$ .

$\frac{1 - \sin (\frac{π}{2})}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Etapa 3.1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.2.3.1.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Etapa 3.1.1.2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Etapa 3.1.1.2.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Etapa 3.1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\tan^{2} (θ)}}$

Etapa 3.1.1.3.2

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{\tan^{2} (θ)}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.1.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)} = lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Etapa 3.1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Etapa 3.1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \sin (θ)$ com relação a $θ$ é $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Etapa 3.1.3.3

Como $1$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $1$ em relação a $θ$ é $0$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{0 + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Etapa 3.1.3.4

Avalie $\frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ .

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Etapa 3.1.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $- \sin (θ)$ em relação a $θ$ é $- \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{0 - \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Etapa 3.1.3.4.2

A derivada de $\sin (θ)$ em relação a $θ$ é $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{0 - \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Etapa 3.1.3.5

Subtraia $\cos (θ)$ de $0$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Etapa 3.1.3.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ é $f' (g (θ)) g' (θ)$ , em que $f (θ) = θ^{- 2}$ e $g (θ) = \tan (θ)$ .

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Etapa 3.1.3.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\tan (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

Etapa 3.1.3.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

Etapa 3.1.3.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\tan (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \tan^{- 3} (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

Etapa 3.1.3.7

A derivada de $\tan (θ)$ em relação a $θ$ é $\sec^{2} (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \tan^{- 3} (θ) \sec^{2} (θ)}$

Etapa 3.1.3.8

Simplifique.

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Etapa 3.1.3.8.1

Reordene os fatores de $- 2 \tan^{- 3} (θ) \sec^{2} (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \sec^{2} (θ) \tan^{- 3} (θ)}$

Etapa 3.1.3.8.2

Reescreva $\sec (θ)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 {(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2} \tan^{- 3} (θ)}$

Etapa 3.1.3.8.3

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Etapa 3.1.3.8.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Etapa 3.1.3.8.5

Combine $- 2$ e $\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Etapa 3.1.3.8.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Etapa 3.1.3.8.7

Reescreva $\tan (θ)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} {(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{- 3}}$

Etapa 3.1.3.8.8

Altere o sinal do expoente reescrevendo a base como seu inverso.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} {(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{3}}$

Etapa 3.1.3.8.9

Aplique a regra do produto a $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{3} (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Etapa 3.1.3.8.10

Cancele o fator comum de $\cos^{2} (θ)$ .

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Etapa 3.1.3.8.10.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{\cos^{2} (θ)}$ para o numerador.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{3} (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Etapa 3.1.3.8.10.2

Fatore $\cos^{2} (θ)$ de $\cos^{3} (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Etapa 3.1.3.8.10.3

Cancele o fator comum.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Etapa 3.1.3.8.10.4

Reescreva a expressão.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{\cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Etapa 3.1.3.8.11

Combine $- 2$ e $\frac{\cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2 \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Etapa 3.1.3.8.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2 \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Etapa 3.1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} - \cos (θ) (- \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)})$

Etapa 3.1.5

Combine os fatores.

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Etapa 3.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} 1 \cos (θ) \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Etapa 3.1.5.2

Multiplique $\cos (θ)$ por $1$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \cos (θ) \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Etapa 3.1.5.3

Combine $\cos (θ)$ e $\frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (θ) \sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Etapa 3.1.6

Cancele o fator comum de $\cos (θ)$ .

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Etapa 3.1.6.1

Cancele o fator comum.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (θ) \sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Etapa 3.1.6.2

Reescreva a expressão.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\sin^{3} (θ)}{2}$

Etapa 3.2

Avalie o limite.

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Etapa 3.2.1

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $θ$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sin^{3} (θ)$

Etapa 3.2.2

Mova o expoente $3$ de $\sin^{3} (θ)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{2} {(lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sin (θ))}^{3}$

Etapa 3.2.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1}{2} \sin^{3} (lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} θ)$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $θ$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $θ$ .

$\frac{1}{2} \sin^{3} (\frac{π}{2})$

Etapa 3.4

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{3}$

Etapa 3.4.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 3.4.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 4

Determine o limite como um valor crítico direito.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)}$

Etapa 5

Avalie o valor crítico direito.

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Etapa 5.1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} 1 - \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Etapa 5.1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $θ$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} 1 - lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Etapa 5.1.1.2.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $θ$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1 - lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Etapa 5.1.1.2.1.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1 - \sin (lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Etapa 5.1.1.2.2

Avalie o limite de $θ$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $θ$ .

$\frac{1 - \sin (\frac{π}{2})}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Etapa 5.1.1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.2.3.1.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Etapa 5.1.1.2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Etapa 5.1.1.2.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Etapa 5.1.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1}{\tan^{2} (θ)}}$

Etapa 5.1.1.3.2

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{\tan^{2} (θ)}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 5.1.1.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 5.1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 5.1.2

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)} = lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Etapa 5.1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 5.1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Etapa 5.1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \sin (θ)$ com relação a $θ$ é $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Etapa 5.1.3.3

Como $1$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $1$ em relação a $θ$ é $0$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{0 + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Etapa 5.1.3.4

Avalie $\frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ .

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Etapa 5.1.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $- \sin (θ)$ em relação a $θ$ é $- \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{0 - \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Etapa 5.1.3.4.2

A derivada de $\sin (θ)$ em relação a $θ$ é $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{0 - \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Etapa 5.1.3.5

Subtraia $\cos (θ)$ de $0$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Etapa 5.1.3.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ é $f' (g (θ)) g' (θ)$ , em que $f (θ) = θ^{- 2}$ e $g (θ) = \tan (θ)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\tan (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

Etapa 5.1.3.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

Etapa 5.1.3.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\tan (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \tan^{- 3} (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

Etapa 5.1.3.7

A derivada de $\tan (θ)$ em relação a $θ$ é $\sec^{2} (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \tan^{- 3} (θ) \sec^{2} (θ)}$

Etapa 5.1.3.8

Simplifique.

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Etapa 5.1.3.8.1

Reordene os fatores de $- 2 \tan^{- 3} (θ) \sec^{2} (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \sec^{2} (θ) \tan^{- 3} (θ)}$

Etapa 5.1.3.8.2

Reescreva $\sec (θ)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 {(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2} \tan^{- 3} (θ)}$

Etapa 5.1.3.8.3

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Etapa 5.1.3.8.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Etapa 5.1.3.8.5

Combine $- 2$ e $\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Etapa 5.1.3.8.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Etapa 5.1.3.8.7

Reescreva $\tan (θ)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} {(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{- 3}}$

Etapa 5.1.3.8.8

Altere o sinal do expoente reescrevendo a base como seu inverso.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} {(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{3}}$

Etapa 5.1.3.8.9

Aplique a regra do produto a $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{3} (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Etapa 5.1.3.8.10

Cancele o fator comum de $\cos^{2} (θ)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.8.10.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{\cos^{2} (θ)}$ para o numerador.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{3} (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Etapa 5.1.3.8.10.2

Fatore $\cos^{2} (θ)$ de $\cos^{3} (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Etapa 5.1.3.8.10.3

Cancele o fator comum.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Etapa 5.1.3.8.10.4

Reescreva a expressão.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{\cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Etapa 5.1.3.8.11

Combine $- 2$ e $\frac{\cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2 \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Etapa 5.1.3.8.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2 \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Etapa 5.1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} - \cos (θ) (- \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)})$

Etapa 5.1.5

Combine os fatores.

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Etapa 5.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} 1 \cos (θ) \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Etapa 5.1.5.2

Multiplique $\cos (θ)$ por $1$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \cos (θ) \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Etapa 5.1.5.3

Combine $\cos (θ)$ e $\frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\cos (θ) \sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Etapa 5.1.6

Cancele o fator comum de $\cos (θ)$ .

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Etapa 5.1.6.1

Cancele o fator comum.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\cos (θ) \sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Etapa 5.1.6.2

Reescreva a expressão.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\sin^{3} (θ)}{2}$

Etapa 5.2

Avalie o limite.

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Etapa 5.2.1

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $θ$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sin^{3} (θ)$

Etapa 5.2.2

Mova o expoente $3$ de $\sin^{3} (θ)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{2} {(lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sin (θ))}^{3}$

Etapa 5.2.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1}{2} \sin^{3} (lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} θ)$

Etapa 5.3

Avalie o limite de $θ$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $θ$ .

$\frac{1}{2} \sin^{3} (\frac{π}{2})$

Etapa 5.4

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.4.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{3}$

Etapa 5.4.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 5.4.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 6

Como o valor crítico esquerdo é igual ao valor crítico direito, o limite é igual a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$