Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{7 x^{5} + 5 x^{2} + 12 x}{3 x^{5} + 4 x}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 7 x^{5} + 5 x^{2} + 12 x}{lim_{x \to 0} 3 x^{5} + 4 x}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 7 x^{5} + lim_{x \to 0} 5 x^{2} + lim_{x \to 0} 12 x}{lim_{x \to 0} 3 x^{5} + 4 x}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o termo $7$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{7 lim_{x \to 0} x^{5} + lim_{x \to 0} 5 x^{2} + lim_{x \to 0} 12 x}{lim_{x \to 0} 3 x^{5} + 4 x}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o expoente $5$ de $x^{5}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{7 {(lim_{x \to 0} x)}^{5} + lim_{x \to 0} 5 x^{2} + lim_{x \to 0} 12 x}{lim_{x \to 0} 3 x^{5} + 4 x}$

Etapa 1.1.2.4

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{7 {(lim_{x \to 0} x)}^{5} + 5 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 12 x}{lim_{x \to 0} 3 x^{5} + 4 x}$

Etapa 1.1.2.5

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{7 {(lim_{x \to 0} x)}^{5} + 5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 12 x}{lim_{x \to 0} 3 x^{5} + 4 x}$

Etapa 1.1.2.6

Mova o termo $12$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{7 {(lim_{x \to 0} x)}^{5} + 5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 12 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 3 x^{5} + 4 x}$

Etapa 1.1.2.7

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{7 \cdot 0^{5} + 5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 12 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 3 x^{5} + 4 x}$

Etapa 1.1.2.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{7 \cdot 0^{5} + 5 \cdot 0^{2} + 12 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 3 x^{5} + 4 x}$

Etapa 1.1.2.7.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{7 \cdot 0^{5} + 5 \cdot 0^{2} + 12 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 3 x^{5} + 4 x}$

Etapa 1.1.2.8

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.8.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{7 \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2} + 12 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 3 x^{5} + 4 x}$

Etapa 1.1.2.8.1.2

Multiplique $7$ por $0$ .

$\frac{0 + 5 \cdot 0^{2} + 12 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 3 x^{5} + 4 x}$

Etapa 1.1.2.8.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0 + 5 \cdot 0 + 12 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 3 x^{5} + 4 x}$

Etapa 1.1.2.8.1.4

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{0 + 0 + 12 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 3 x^{5} + 4 x}$

Etapa 1.1.2.8.1.5

Multiplique $12$ por $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0}{lim_{x \to 0} 3 x^{5} + 4 x}$

Etapa 1.1.2.8.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 3 x^{5} + 4 x}$

Etapa 1.1.2.8.3

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x^{5} + 4 x}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x^{5} + lim_{x \to 0} 4 x}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0} x^{5} + lim_{x \to 0} 4 x}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o expoente $5$ de $x^{5}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{5} + lim_{x \to 0} 4 x}$

Etapa 1.1.3.4

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{5} + 4 lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.3.5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.3.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0^{5} + 4 lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.3.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0^{5} + 4 \cdot 0}$

Etapa 1.1.3.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.6.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Etapa 1.1.3.6.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{0}{0 + 4 \cdot 0}$

Etapa 1.1.3.6.1.3

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Etapa 1.1.3.6.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.6.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{7 x^{5} + 5 x^{2} + 12 x}{3 x^{5} + 4 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [7 x^{5} + 5 x^{2} + 12 x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{5} + 4 x]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [7 x^{5} + 5 x^{2} + 12 x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{5} + 4 x]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x^{5} + 5 x^{2} + 12 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [7 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{5} + 4 x]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [7 x^{5}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x^{5}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{5} + 4 x]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{5} + 4 x]}$

Etapa 1.3.3.3

Multiplique $5$ por $7$ .

$lim_{x \to 0} \frac{35 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{5} + 4 x]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{35 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{5} + 4 x]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{35 x^{4} + 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{5} + 4 x]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $2$ por $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{35 x^{4} + 10 x + \frac{d}{d x} [12 x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{5} + 4 x]}$

Etapa 1.3.5

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Etapa 1.3.5.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{35 x^{4} + 10 x + 12 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{5} + 4 x]}$

Etapa 1.3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{35 x^{4} + 10 x + 12 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [3 x^{5} + 4 x]}$

Etapa 1.3.5.3

Multiplique $12$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{35 x^{4} + 10 x + 12}{\frac{d}{d x} [3 x^{5} + 4 x]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{5} + 4 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{35 x^{4} + 10 x + 12}{\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x]}$

Etapa 1.3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

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Etapa 1.3.7.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{5}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{35 x^{4} + 10 x + 12}{3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x]}$

Etapa 1.3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{35 x^{4} + 10 x + 12}{3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [4 x]}$

Etapa 1.3.7.3

Multiplique $5$ por $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{35 x^{4} + 10 x + 12}{15 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x]}$

Etapa 1.3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 1.3.8.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{35 x^{4} + 10 x + 12}{15 x^{4} + 4 \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{35 x^{4} + 10 x + 12}{15 x^{4} + 4 \cdot 1}$

Etapa 1.3.8.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{35 x^{4} + 10 x + 12}{15 x^{4} + 4}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 35 x^{4} + 10 x + 12}{lim_{x \to 0} 15 x^{4} + 4}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 35 x^{4} + lim_{x \to 0} 10 x + lim_{x \to 0} 12}{lim_{x \to 0} 15 x^{4} + 4}$

Etapa 2.3

Mova o termo $35$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{35 lim_{x \to 0} x^{4} + lim_{x \to 0} 10 x + lim_{x \to 0} 12}{lim_{x \to 0} 15 x^{4} + 4}$

Etapa 2.4

Mova o expoente $4$ de $x^{4}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{35 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} + lim_{x \to 0} 10 x + lim_{x \to 0} 12}{lim_{x \to 0} 15 x^{4} + 4}$

Etapa 2.5

Mova o termo $10$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{35 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 10 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 12}{lim_{x \to 0} 15 x^{4} + 4}$

Etapa 2.6

Avalie o limite de $12$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{35 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 10 lim_{x \to 0} x + 12}{lim_{x \to 0} 15 x^{4} + 4}$

Etapa 2.7

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{35 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 10 lim_{x \to 0} x + 12}{lim_{x \to 0} 15 x^{4} + lim_{x \to 0} 4}$

Etapa 2.8

Mova o termo $15$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{35 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 10 lim_{x \to 0} x + 12}{15 lim_{x \to 0} x^{4} + lim_{x \to 0} 4}$

Etapa 2.9

Mova o expoente $4$ de $x^{4}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{35 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 10 lim_{x \to 0} x + 12}{15 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} + lim_{x \to 0} 4}$

Etapa 2.10

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{35 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 10 lim_{x \to 0} x + 12}{15 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 4}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{35 \cdot 0^{4} + 10 lim_{x \to 0} x + 12}{15 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 4}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{35 \cdot 0^{4} + 10 \cdot 0 + 12}{15 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 4}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{35 \cdot 0^{4} + 10 \cdot 0 + 12}{15 \cdot 0^{4} + 4}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{35 \cdot 0 + 10 \cdot 0 + 12}{15 \cdot 0^{4} + 4}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $35$ por $0$ .

$\frac{0 + 10 \cdot 0 + 12}{15 \cdot 0^{4} + 4}$

Etapa 4.1.3

Multiplique $10$ por $0$ .

$\frac{0 + 0 + 12}{15 \cdot 0^{4} + 4}$

Etapa 4.1.4

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0 + 12}{15 \cdot 0^{4} + 4}$

Etapa 4.1.5

Some $0$ e $12$ .

$\frac{12}{15 \cdot 0^{4} + 4}$

Etapa 4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{12}{15 \cdot 0 + 4}$

Etapa 4.2.2

Multiplique $15$ por $0$ .

$\frac{12}{0 + 4}$

Etapa 4.2.3

Some $0$ e $4$ .

$\frac{12}{4}$

Etapa 4.3

Divida $12$ por $4$ .

$3$