Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (2 x)}{\cos (x) - \sin (x)}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\cos (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$\frac{\cos (2 \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{\cos (2 \frac{π}{2 (2)})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.3.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Etapa 1.1.3.4

Avalie os limites substituindo $\frac{π}{4}$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.3.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$\frac{0}{\cos (\frac{π}{4}) - \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Etapa 1.1.3.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$\frac{0}{\cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{4})}$

Etapa 1.1.3.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.5.1.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{4})}$

Etapa 1.1.3.5.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Etapa 1.1.3.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 1.1.3.5.3

Subtraia $\sqrt{2}$ de $\sqrt{2}$ .

$\frac{0}{\frac{0}{2}}$

Etapa 1.1.3.5.4

Divida $0$ por $2$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.5.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (2 x)}{\cos (x) - \sin (x)} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Etapa 1.3.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Etapa 1.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Etapa 1.3.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Etapa 1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Etapa 1.3.6

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Etapa 1.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cos (x) - \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 1.3.8

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 1.3.9

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Etapa 1.3.9.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{- \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 1.3.9.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{- \sin (x) - \cos (x)}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $- 2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (2 x)}{- \sin (x) - \cos (x)}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{4}$ .

$- 2 \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} - \sin (x) - \cos (x)}$

Etapa 2.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$- 2 \frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} - \sin (x) - \cos (x)}$

Etapa 2.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- 2 \frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} - \sin (x) - \cos (x)}$

Etapa 2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{4}$ .

$- 2 \frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{- lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}$

Etapa 2.6

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$- 2 \frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{- \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}$

Etapa 2.7

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$- 2 \frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{- \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $\frac{π}{4}$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$- 2 \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$- 2 \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$- 2 \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$- 2 \frac{\sin (2 \frac{π}{2 (2)})}{- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}$

Etapa 4.1.1.2

Cancele o fator comum.

$- 2 \frac{\sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}{- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}$

Etapa 4.1.1.3

Reescreva a expressão.

$- 2 \frac{\sin (\frac{π}{2})}{- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}$

Etapa 4.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$- 2 \frac{1}{- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}$

Etapa 4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1

Fatore $- 1$ de $- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})$ .

$- 2 \frac{1}{- (\sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4}))}$

Etapa 4.2.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 \frac{1}{- (\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4}))}$

Etapa 4.2.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 \frac{1}{- (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2})}$

Etapa 4.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 2 \frac{1}{- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 4.2.5

Reescreva $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 4.2.5.1

Some $\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$- 2 \frac{1}{- \frac{2 \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 4.2.5.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 4.2.5.2.1

Reduza a expressão $\frac{2 \sqrt{2}}{2}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 4.2.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$- 2 \frac{1}{- \frac{2 \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 4.2.5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$- 2 \frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{1}}$

Etapa 4.2.5.2.2

Divida $\sqrt{2}$ por $1$ .

$- 2 \frac{1}{- \sqrt{2}}$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

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Etapa 4.3.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$- 2 \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{2}}$

Etapa 4.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 2 (- \frac{1}{\sqrt{2}})$

Etapa 4.4

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 (- (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))$

Etapa 4.5

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})$

Etapa 4.5.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})$

Etapa 4.5.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})$

Etapa 4.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})$

Etapa 4.5.5

Some $1$ e $1$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})$

Etapa 4.5.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 4.5.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Etapa 4.5.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Etapa 4.5.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 4.5.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.5.6.4.1

Cancele o fator comum.

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 4.5.6.4.2

Reescreva a expressão.

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2^{1}})$

Etapa 4.5.6.5

Avalie o expoente.

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 4.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.6.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ para o numerador.

$- 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Etapa 4.6.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Etapa 4.6.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Etapa 4.6.4

Reescreva a expressão.

$- - \sqrt{2}$

Etapa 4.7

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \sqrt{2}$

Etapa 4.8

Multiplique $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\sqrt{2}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\sqrt{2}$

Forma decimal:

$1.41421356 \dots$