Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{3 \cos^{2} (x)}{2 - 2 \sin (x)}$

Etapa 1

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (x)}{2 - 2 \sin (x)}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$3 \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 - 2 \sin (x)}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.2.1.1

Mova o expoente $2$ de $\cos^{2} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$3 \frac{{(lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 - 2 \sin (x)}$

Etapa 2.1.2.1.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$3 \frac{\cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 - 2 \sin (x)}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $x$ .

$3 \frac{\cos^{2} (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 - 2 \sin (x)}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.3.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$3 \frac{0^{2}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 - 2 \sin (x)}$

Etapa 2.1.2.3.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 - 2 \sin (x)}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin (x)}$

Etapa 2.1.3.1.2

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$3 \frac{0}{2 - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin (x)}$

Etapa 2.1.3.1.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$3 \frac{0}{2 - 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

Etapa 2.1.3.1.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$3 \frac{0}{2 - 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Etapa 2.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $x$ .

$3 \frac{0}{2 - 2 \sin (\frac{π}{2})}$

Etapa 2.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.3.3.1.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$3 \frac{0}{2 - 2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.3.3.1.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$3 \frac{0}{2 - 2}$

Etapa 2.1.3.3.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$3 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$3 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$3 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$3 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (x)}{2 - 2 \sin (x)} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [2 - 2 \sin (x)]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [2 - 2 \sin (x)]}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\cos (x)$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [2 - 2 \sin (x)]}$

Etapa 2.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [2 - 2 \sin (x)]}$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [2 - 2 \sin (x)]}$

Etapa 2.3.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos (x) \cdot - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [2 - 2 \sin (x)]}$

Etapa 2.3.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [2 - 2 \sin (x)]}$

Etapa 2.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - 2 \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]}$

Etapa 2.3.6

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]}$

Etapa 2.3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Etapa 2.3.7.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \sin (x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x)}{0 - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 2.3.7.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x)}{0 - 2 \cos (x)}$

Etapa 2.3.8

Subtraia $2 \cos (x)$ de $0$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x)}{- 2 \cos (x)}$

Etapa 2.4

Reduza.

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Etapa 2.4.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 2.4.1.1

Cancele o fator comum.

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x)}{- 2 \cos (x)}$

Etapa 2.4.1.2

Reescreva a expressão.

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 2.4.2

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 2.4.2.1

Cancele o fator comum.

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 2.4.2.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)$

Etapa 3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$3 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)$

Etapa 4

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $x$ .

$3 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 5.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$