Cálculo Exemplos

$x \frac{d y}{d x} = 4 y$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} = 4 y$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 1.1.1

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} = 4 y$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{4 y}{x}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{4 y}{x}$

Etapa 1.1.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{x}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{4 y}{x}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.3.1

Fatore $y$ de $4 y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot 4}{x}$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot 4}{x}$

Etapa 1.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{x}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y} d y = \frac{4}{x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{4}{x} d x$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{4}{x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\ln (| x |) + C_{2})$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = 4 \ln (| x |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y |) - 4 \ln (| x |) = C$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Simplifique $\ln (| y |) - 4 \ln (| x |)$ .

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1.1

Simplifique $- 4 \ln (| x |)$ movendo $4$ para dentro do logaritmo.

$\ln (| y |) - \ln ({| x |}^{4}) = C$

Etapa 3.2.1.1.2

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{4}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$\ln (| y |) - \ln (x^{4}) = C$

Etapa 3.2.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{x^{4}}) = C$

Etapa 3.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y |}{x^{4}})} = e^{C}$

Etapa 3.4

Reescreva $\ln (\frac{| y |}{x^{4}}) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{x^{4}}$

Etapa 3.5

Resolva $y$ .

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Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $\frac{| y |}{x^{4}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{x^{4}} = e^{C}$

Etapa 3.5.2

Multiplique os dois lados por $x^{4}$ .

$\frac{| y |}{x^{4}} x^{4} = e^{C} x^{4}$

Etapa 3.5.3

Simplifique.

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Etapa 3.5.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{4}$ .

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Etapa 3.5.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| y |}{x^{4}} x^{4} = e^{C} x^{4}$

Etapa 3.5.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$| y | = e^{C} x^{4}$

Etapa 3.5.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.5.3.2.1

Reordene os fatores em $e^{C} x^{4}$ .

$| y | = x^{4} e^{C}$

Etapa 3.5.4

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm x^{4} e^{C}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Simplifique a constante de integração.

$y = \pm x^{4} C$

Etapa 4.2

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C x^{4}$