Cálculo Exemplos

$\int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 1

Divida a integral em $0$ e escreva como uma soma de limites.

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{1 + x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 3

A integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ com relação a $x$ é $\arctan (x)]_{t}^{0}$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (x)]_{t}^{0} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 4

Avalie $\arctan (x)$ em $0$ e em $t$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 5

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Etapa 6

A integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ com relação a $x$ é $\arctan (x)]_{0}^{t}$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \arctan (x)]_{0}^{t}$

Etapa 7

Avalie $\arctan (x)$ em $t$ e em $0$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

Etapa 8

Avalie os limites.

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Etapa 8.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $- \infty$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - lim_{t \to - \infty} \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

Etapa 8.2

Avalie o limite de $\arctan (0)$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $- \infty$ .

$\arctan (0) - lim_{t \to - \infty} \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

Etapa 8.3

O limite à medida que $t$ se aproxima de $- \infty$ é $- \frac{π}{2}$ .

$\arctan (0) + 1 \frac{π}{2} + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

Etapa 8.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$\arctan (0) + 1 \frac{π}{2} + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (0)$

Etapa 8.5

O limite à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ é $\frac{π}{2}$ .

$\arctan (0) + 1 \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (0)$

Etapa 8.6

Avalie o limite de $\arctan (0)$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$\arctan (0) + 1 \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - \arctan (0)$

Etapa 8.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.7.1.1

O valor exato de $\arctan (0)$ é $0$ .

$0 + 1 \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - \arctan (0)$

Etapa 8.7.1.2

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $1$ .

$0 + \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - \arctan (0)$

Etapa 8.7.1.3

O valor exato de $\arctan (0)$ é $0$ .

$0 + \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - 0$

Etapa 8.7.1.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0 + \frac{π}{2} + \frac{π}{2} + 0$

Etapa 8.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π + π}{2}$

Etapa 8.7.3

Some $π$ e $π$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 8.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 8.7.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$π$

Forma decimal:

$3.14159265 \dots$