Cálculo Exemplos

$f (x) = {\begin{cases} \frac{x^{2} - 4}{x - 2} & x < 2 \\ a x^{2} - b x + 3 & 2 \leq x < 3 \\ 4 x - a + b & x \geq 3 \end{cases}$

Etapa 1

Encontre o limite de $\frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ à medida que $x$ se aproxima de $2$ a partir da esquerda.

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Etapa 1.1

Altere o valor crítico bilateral para valor crítico esquerdo.

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$

Etapa 1.2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 2^{-}} x^{2} - 4}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Etapa 1.2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.2.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2^{-}} x^{2} - lim_{x \to 2^{-}} 4}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Etapa 1.2.1.2.1.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 2^{-}} x)}^{2} - lim_{x \to 2^{-}} 4}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Etapa 1.2.1.2.1.3

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2^{-}} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Etapa 1.2.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{2^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Etapa 1.2.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.1.2.3.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Etapa 1.2.1.2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Etapa 1.2.1.2.3.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Etapa 1.2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.2.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.2.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{-}} x - lim_{x \to 2^{-}} 2}$

Etapa 1.2.1.3.1.2

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.2.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.2.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.1.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Etapa 1.2.1.3.3.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{x^{2} - 4}{x - 2} = lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.2.3.4

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.2.3.5

Some $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.2.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 1.2.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x}{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 1.2.3.8

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x}{1 + 0}$

Etapa 1.2.3.9

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x}{1}$

Etapa 1.2.4

Divida $2 x$ por $1$ .

$lim_{x \to 2^{-}} 2 x$

Etapa 1.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to 2^{-}} x$

Etapa 1.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$2 \cdot 2$

Etapa 1.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$4$

Etapa 2

Avalie $a x^{2} - b x + 3$ em $2$ .

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Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$a {(2)}^{2} - b \cdot 2 + 3$

Etapa 2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$a \cdot 4 - b \cdot 2 + 3$

Etapa 2.2.2

Mova $4$ para a esquerda de $a$ .

$4 \cdot a - b \cdot 2 + 3$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$4 a - 2 b + 3$

Etapa 3

Como o limite de $\frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ à medida que $x$ se aproxima de $2$ a partir da esquerda não é igual ao valor da função em $x = 2$ , a função não é contínua em $x = 2$ .

Não contínuo

Etapa 4