Cálculo Exemplos

$\int \tan^{3} (x) \sec^{6} (x) d x$

Etapa 1

Simplifique com fatoração.

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Etapa 1.1

Reescreva $6$ como $4$ mais $2$

$\int \tan^{3} (x) {\sec (x)}^{4 + 2} d x$

Etapa 1.2

Reescreva ${\sec (x)}^{4 + 2}$ como $\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\int \tan^{3} (x) (\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)) d x$

Etapa 1.3

Fatore $2$ de $4$ .

$\int \tan^{3} (x) ({\sec (x)}^{2 (2)} \sec^{2} (x)) d x$

Etapa 1.4

Reescreva ${\sec (x)}^{2 (2)}$ como exponenciação.

$\int \tan^{3} (x) ({(\sec^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x)) d x$

$\int \tan^{3} (x) ({(\sec^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x)) d x$

Etapa 2

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\sec^{2} (x)$ como $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int \tan^{3} (x) ({(1 + \tan^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x)) d x$

Etapa 3

Deixe $u = \tan (x)$ . Depois, $d u = \sec^{2} (x) d x$ , então, $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = \tan (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

$\sec^{2} (x)$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{3} {(1 + u^{2})}^{2} d u$

$\int u^{3} {(1 + u^{2})}^{2} d u$

Etapa 4

Expanda $u^{3} {(1 + u^{2})}^{2}$ .

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Etapa 4.1

Reescreva ${(1 + u^{2})}^{2}$ como $(1 + u^{2}) (1 + u^{2})$ .

$\int u^{3} ((1 + u^{2}) (1 + u^{2})) d u$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int u^{3} (1 (1 + u^{2}) + u^{2} (1 + u^{2})) d u$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int u^{3} (1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} (1 + u^{2})) d u$

Etapa 4.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\int u^{3} (1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

Etapa 4.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\int u^{3} (1 \cdot 1 + 1 u^{2}) + u^{3} (u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

Etapa 4.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\int u^{3} (1 \cdot 1) + u^{3} (1 u^{2}) + u^{3} (u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

Etapa 4.7

Aplique a propriedade distributiva.

$\int u^{3} (1 \cdot 1) + u^{3} (1 u^{2}) + u^{3} (u^{2} \cdot 1) + u^{3} (u^{2} u^{2}) d u$

Etapa 4.8

Mova $u^{3}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + u^{3} (1 u^{2}) + u^{3} (u^{2} \cdot 1) + u^{3} (u^{2} u^{2}) d u$

Etapa 4.9

Reordene $u^{3}$ e $1$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot u^{3} u^{2} + u^{3} (u^{2} \cdot 1) + u^{3} (u^{2} u^{2}) d u$

Etapa 4.10

Reordene $u^{2}$ e $1$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot u^{3} u^{2} + u^{3} (1 \cdot u^{2}) + u^{3} (u^{2} u^{2}) d u$

Etapa 4.11

Reordene $u^{3}$ e $1$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot u^{3} u^{2} + 1 \cdot u^{3} \cdot u^{2} + u^{3} (u^{2} u^{2}) d u$

Etapa 4.12

Multiplique $1$ por $1$ .

$\int 1 u^{3} + 1 u^{3} u^{2} + 1 u^{3} u^{2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 4.13

Multiplique $u^{3}$ por $1$ .

$\int u^{3} + 1 u^{3} u^{2} + 1 u^{3} u^{2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 4.14

Multiplique $u^{3}$ por $1$ .

$\int u^{3} + u^{3} u^{2} + 1 u^{3} u^{2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 4.15

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int u^{3} + u^{3 + 2} + 1 u^{3} u^{2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 4.16

Some $3$ e $2$ .

$\int u^{3} + u^{5} + 1 u^{3} u^{2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 4.17

Multiplique $u^{3}$ por $1$ .

$\int u^{3} + u^{5} + u^{3} u^{2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 4.18

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int u^{3} + u^{5} + u^{3 + 2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 4.19

Some $3$ e $2$ .

$\int u^{3} + u^{5} + u^{5} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 4.20

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int u^{3} + u^{5} + u^{5} + u^{3 + 2} u^{2} d u$

Etapa 4.21

Some $3$ e $2$ .

$\int u^{3} + u^{5} + u^{5} + u^{5} u^{2} d u$

Etapa 4.22

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int u^{3} + u^{5} + u^{5} + u^{5 + 2} d u$

Etapa 4.23

Some $5$ e $2$ .

$\int u^{3} + u^{5} + u^{5} + u^{7} d u$

Etapa 4.24

Some $u^{5}$ e $u^{5}$ .

$\int u^{3} + 2 u^{5} + u^{7} d u$

Etapa 4.25

Reordene $2 u^{5}$ e $u^{7}$ .

$\int u^{3} + u^{7} + 2 u^{5} d u$

Etapa 4.26

Mova $u^{3}$ .

$\int u^{7} + 2 u^{5} + u^{3} d u$

$\int u^{7} + 2 u^{5} + u^{3} d u$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int u^{7} d u + \int 2 u^{5} d u + \int u^{3} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{7}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + C + \int 2 u^{5} d u + \int u^{3} d u$

Etapa 7

Como $2$ é constante com relação a $u$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{1}{8} u^{8} + C + 2 \int u^{5} d u + \int u^{3} d u$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{5}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + C + 2 (\frac{1}{6} u^{6} + C) + \int u^{3} d u$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{3}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + C + 2 (\frac{1}{6} u^{6} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Combine $\frac{1}{6}$ e $u^{6}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + C + 2 (\frac{u^{6}}{6} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Etapa 10.2

Simplifique.

$\frac{u^{8}}{8} + \frac{u^{6}}{3} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

$\frac{u^{8}}{8} + \frac{u^{6}}{3} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Etapa 11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\tan (x)$ .

$\frac{\tan^{8} (x)}{8} + \frac{\tan^{6} (x)}{3} + \frac{1}{4} \tan^{4} (x) + C$

Etapa 12

Reordene os termos.

$\frac{1}{8} \tan^{8} (x) + \frac{1}{3} \tan^{6} (x) + \frac{1}{4} \tan^{4} (x) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$