Cálculo Exemplos

$y = 5 x^{6} - 3 x^{4} + 2 x - 9$

Etapa 1

Escreva $y = 5 x^{6} - 3 x^{4} + 2 x - 9$ como uma função.

$f (x) = 5 x^{6} - 3 x^{4} + 2 x - 9$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{6} - 3 x^{4} + 2 x - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{6}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{6}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$5 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $6$ por $5$ .

$30 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{4}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$30 x^{5} - 3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$30 x^{5} - 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $4$ por $- 3$ .

$30 x^{5} - 12 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 x^{5} - 12 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$30 x^{5} - 12 x^{3} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Etapa 2.4.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$30 x^{5} - 12 x^{3} + 2 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.5.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$30 x^{5} - 12 x^{3} + 2 + 0$

Etapa 2.5.2

Some $30 x^{5} - 12 x^{3} + 2$ e $0$ .

$30 x^{5} - 12 x^{3} + 2$

Etapa 3

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x \approx - 0.74790241$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 0.74790241) \cup (- 0.74790241, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número, como $- 3$ , do intervalo $(- \infty, - 0.74790241)$ na primeira derivada $30 x^{5} - 12 x^{3} + 2$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f' (- 3) = 30 {(- 3)}^{5} - 12 {(- 3)}^{3} + 2$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $5$ .

$f' (- 3) = 30 \cdot - 243 - 12 {(- 3)}^{3} + 2$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $30$ por $- 243$ .

$f' (- 3) = - 7290 - 12 {(- 3)}^{3} + 2$

Etapa 5.2.1.3

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$f' (- 3) = - 7290 - 12 \cdot - 27 + 2$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $- 12$ por $- 27$ .

$f' (- 3) = - 7290 + 324 + 2$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 5.2.2.1

Some $- 7290$ e $324$ .

$f' (- 3) = - 6966 + 2$

Etapa 5.2.2.2

Some $- 6966$ e $2$ .

$f' (- 3) = - 6964$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 6964$ .

$- 6964$

Etapa 6

Substitua qualquer número, como $0$ , do intervalo $(- 0.74790241, \infty)$ na primeira derivada $30 x^{5} - 12 x^{3} + 2$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = 30 {(0)}^{5} - 12 {(0)}^{3} + 2$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = 30 \cdot 0 - 12 {(0)}^{3} + 2$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $30$ por $0$ .

$f' (0) = 0 - 12 {(0)}^{3} + 2$

Etapa 6.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = 0 - 12 \cdot 0 + 2$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $- 12$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 2$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 6.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f' (0) = 0 + 2$

Etapa 6.2.2.2

Some $0$ e $2$ .

$f' (0) = 2$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $2$ .

$2$

Etapa 7

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = - 0.74790241$ , há um ponto de inflexão em $x = - 0.74790241$ .

Etapa 8

Encontre a coordenada y de $- 0.74790241$ para determinar o ponto de inflexão.

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Etapa 8.1

Encontre $f (- 0.74790241)$ para determinar a coordenada y de $- 0.74790241$ .

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Etapa 8.1.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.74790241$ na expressão.

$f (- 0.74790241) = 5 {(- 0.74790241)}^{6} - 3 {(- 0.74790241)}^{4} + 2 (- 0.74790241) - 9$

Etapa 8.1.2

Simplifique $5 {(- 0.74790241)}^{6} - 3 {(- 0.74790241)}^{4} + 2 (- 0.74790241) - 9$ .

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Etapa 8.1.2.1

Remova os parênteses.

$5 {(- 0.74790241)}^{6} - 3 {(- 0.74790241)}^{4} + 2 (- 0.74790241) - 9$

Etapa 8.1.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.1.2.2.1

Eleve $- 0.74790241$ à potência de $6$ .

$5 \cdot 0.17501272 - 3 {(- 0.74790241)}^{4} + 2 (- 0.74790241) - 9$

Etapa 8.1.2.2.2

Multiplique $5$ por $0.17501272$ .

$0.8750636 - 3 {(- 0.74790241)}^{4} + 2 (- 0.74790241) - 9$

Etapa 8.1.2.2.3

Eleve $- 0.74790241$ à potência de $4$ .

$0.8750636 - 3 \cdot 0.31288139 + 2 (- 0.74790241) - 9$

Etapa 8.1.2.2.4

Multiplique $- 3$ por $0.31288139$ .

$0.8750636 - 0.93864419 + 2 (- 0.74790241) - 9$

Etapa 8.1.2.2.5

Multiplique $2$ por $- 0.74790241$ .

$0.8750636 - 0.93864419 - 1.49580483 - 9$

Etapa 8.1.2.3

Simplifique subtraindo os números.

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Etapa 8.1.2.3.1

Subtraia $0.93864419$ de $0.8750636$ .

$- 0.06358059 - 1.49580483 - 9$

Etapa 8.1.2.3.2

Subtraia $1.49580483$ de $- 0.06358059$ .

$- 1.55938542 - 9$

Etapa 8.1.2.3.3

Subtraia $9$ de $- 1.55938542$ .

$- 10.55938542$

Etapa 8.2

Escreva as coordenadas $x$ e $y$ em forma de ponto.

$(- 0.74790241, - 10.55938542)$

Etapa 9