Cálculo Exemplos

$\frac{x^{2}}{x + y} = y^{2} + 1$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{x + y}) = \frac{d}{d x} (y^{2} + 1)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x + y$ .

$\frac{(x + y) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x + y) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 2.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x + y$ .

$\frac{2 \cdot (x + y) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 2.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{2 (x + y) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 (x + y) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{2 (x + y) x - x^{2} (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 x + 2 y) x - x^{2} (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 2.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 y x - x^{2} (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 2.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 y x - x^{2} \cdot 1 - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 2.4.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 y x - x^{2} \cdot 1 - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 2.4.4.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 y x - x^{2} \cdot 1 - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 2.4.4.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 y x - x^{2} - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 2.4.4.2

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 y x - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 2.4.5

Reordene os termos.

$\frac{x^{2} + 2 x y - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 2.4.6

Fatore $x$ de $x^{2} + 2 x y - x^{2} y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + 2 x y - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 2.4.6.2

Fatore $x$ de $2 x y$ .

$\frac{x \cdot x + x (2 y) - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 2.4.6.3

Fatore $x$ de $- x^{2} y'$ .

$\frac{x \cdot x + x (2 y) + x (- x y')}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 2.4.6.4

Fatore $x$ de $x \cdot x + x (2 y)$ .

$\frac{x (x + 2 y) + x (- x y')}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 2.4.6.5

Fatore $x$ de $x (x + 2 y) + x (- x y')$ .

$\frac{x (x + 2 y - x y')}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Etapa 3.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.3.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 y y' + 0$

Etapa 3.3.2

Some $2 y y'$ e $0$ .

$2 y y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{x (x + 2 y - x y')}{{(x + y)}^{2}} = 2 y y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Multiplique os dois lados por ${(x + y)}^{2}$ .

$\frac{x (x + 2 y - x y')}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2} = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Simplifique $\frac{x (x + 2 y - x y')}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum de ${(x + y)}^{2}$ .

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Etapa 5.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (x + 2 y - x y')}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2} = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Etapa 5.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x (x + 2 y - x y') = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Etapa 5.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x (2 y) + x (- x y') = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Etapa 5.2.1.3

Simplifique.

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Etapa 5.2.1.3.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + x (2 y) + x (- x y') = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Etapa 5.2.1.3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{2} + 2 x y + x (- x y') = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Etapa 5.2.1.3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{2} + 2 x y - x (x y') = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.1.4.1

Mova $x$ .

$x^{2} + 2 x y - (x \cdot x) y' = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Etapa 5.2.1.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + 2 x y - x^{2} y' = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Etapa 5.2.1.5

Mova $x^{2}$ .

$x^{2} + 2 x y - y' x^{2} = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Etapa 5.2.1.6

Mova $x^{2}$ .

$2 x y - y' x^{2} + x^{2} = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Etapa 5.2.1.7

Reordene $2 x y$ e $- y' x^{2}$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Etapa 5.3

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.3.1

Simplifique $2 y y' {(x + y)}^{2}$ .

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Etapa 5.3.1.1

Reescreva.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 0 + 0 + 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Etapa 5.3.1.2

Reescreva ${(x + y)}^{2}$ como $(x + y) (x + y)$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' ((x + y) (x + y))$

Etapa 5.3.1.3

Expanda $(x + y) (x + y)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.3.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x (x + y) + y (x + y))$

Etapa 5.3.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x \cdot x + x y + y (x + y))$

Etapa 5.3.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y)$

Etapa 5.3.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.3.1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x^{2} + x y + y x + y \cdot y)$

Etapa 5.3.1.4.1.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x^{2} + x y + y x + y^{2})$

Etapa 5.3.1.4.2

Some $x y$ e $y x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.4.2.1

Reordene $y$ e $x$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x^{2} + x y + x y + y^{2})$

Etapa 5.3.1.4.2.2

Some $x y$ e $x y$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x^{2} + 2 x y + y^{2})$

Etapa 5.3.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y y' (2 x y) + 2 y y' y^{2}$

Etapa 5.3.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.6.1

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.6.1.1

Mova $y$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 (y \cdot y) y' (2 x) + 2 y y' y^{2}$

Etapa 5.3.1.6.1.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y^{2} y' (2 x) + 2 y y' y^{2}$

Etapa 5.3.1.6.2

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.6.2.1

Mova $y^{2}$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y^{2} y' (2 x) + 2 (y^{2} y) y'$

Etapa 5.3.1.6.2.2

Multiplique $y^{2}$ por $y$ .

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Etapa 5.3.1.6.2.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y^{2} y' (2 x) + 2 (y^{2} y^{1}) y'$

Etapa 5.3.1.6.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y^{2} y' (2 x) + 2 y^{2 + 1} y'$

Etapa 5.3.1.6.2.3

Some $2$ e $1$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y^{2} y' (2 x) + 2 y^{3} y'$

Etapa 5.3.1.7

Multiplique $2$ por $2$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 4 y^{2} y' x + 2 y^{3} y'$

Etapa 5.3.2

Como $y'$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$2 y y' x^{2} + 4 y^{2} y' x + 2 y^{3} y' = - y' x^{2} + 2 x y + x^{2}$

Etapa 5.3.3

Some $y' x^{2}$ aos dois lados da equação.

$2 y y' x^{2} + 4 y^{2} y' x + 2 y^{3} y' + y' x^{2} = 2 x y + x^{2}$

Etapa 5.3.4

Fatore $y'$ de $2 y y' x^{2} + 4 y^{2} y' x + 2 y^{3} y' + y' x^{2}$ .

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Etapa 5.3.4.1

Fatore $y'$ de $2 y y' x^{2}$ .

$y' (2 y x^{2}) + 4 y^{2} y' x + 2 y^{3} y' + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

Etapa 5.3.4.2

Fatore $y'$ de $4 y^{2} y' x$ .

$y' (2 y x^{2}) + y' (4 y^{2} x) + 2 y^{3} y' + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

Etapa 5.3.4.3

Fatore $y'$ de $2 y^{3} y'$ .

$y' (2 y x^{2}) + y' (4 y^{2} x) + y' (2 y^{3}) + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

Etapa 5.3.4.4

Fatore $y'$ de $y' x^{2}$ .

$y' (2 y x^{2}) + y' (4 y^{2} x) + y' (2 y^{3}) + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

Etapa 5.3.4.5

Fatore $y'$ de $y' (2 y x^{2}) + y' (4 y^{2} x)$ .

$y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x) + y' (2 y^{3}) + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

Etapa 5.3.4.6

Fatore $y'$ de $y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x) + y' (2 y^{3})$ .

$y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3}) + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

Etapa 5.3.4.7

Fatore $y'$ de $y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3}) + y' (x^{2})$ .

$y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

Etapa 5.3.5

Divida cada termo em $y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}) = 2 x y + x^{2}$ por $2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1

Divida cada termo em $y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}) = 2 x y + x^{2}$ por $2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}$ .

$\frac{y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2})}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}} = \frac{2 x y}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}} + \frac{x^{2}}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

Etapa 5.3.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.2.1

Cancele o fator comum de $2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

Etapa 5.3.5.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x y}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}} + \frac{x^{2}}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

Etapa 5.3.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{2 x y + x^{2}}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

Etapa 5.3.5.3.2

Fatore $x$ de $2 x y + x^{2}$ .

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Etapa 5.3.5.3.2.1

Fatore $x$ de $2 x y$ .

$y' = \frac{x (2 y) + x^{2}}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

Etapa 5.3.5.3.2.2

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$y' = \frac{x (2 y) + x \cdot x}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

Etapa 5.3.5.3.2.3

Fatore $x$ de $x (2 y) + x \cdot x$ .

$y' = \frac{x (2 y + x)}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 y + x)}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$