Cálculo Exemplos

$x^{y} = y^{x}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{y}) = \frac{d}{d x} (y^{x})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências generalizada, que determina que $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ é $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , em que $f = x$ e $g = y$ .

$\frac{d}{d x} [x] (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

Etapa 2.2.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$y x^{y - 1} + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y x^{y - 1} + y' (x^{y} \ln (x))$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Reordene os termos.

$x^{y - 1} y + x^{y} \ln (x) y'$

Etapa 2.4.2

Reordene os fatores em $x^{y - 1} y + x^{y} \ln (x) y'$ .

$y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências generalizada, que determina que $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ é $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , em que $f = y$ e $g = x$ .

$\frac{d}{d x} [y] (x y^{x - 1}) + \frac{d}{d x} [x] (y^{x} \ln (y))$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y' (x y^{x - 1}) + \frac{d}{d x} [x] (y^{x} \ln (y))$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y' (x y^{x - 1}) + 1 (y^{x} \ln (y))$

Etapa 3.4

Multiplique $y^{x}$ por $1$ .

$y' (x y^{x - 1}) + y^{x} \ln (y)$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Reordene os termos.

$y^{x - 1} x y' + y^{x} \ln (y)$

Etapa 3.5.2

Reordene os fatores em $y^{x - 1} x y' + y^{x} \ln (y)$ .

$x y^{x - 1} y' + y^{x} \ln (y)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y' = x y^{x - 1} y' + y^{x} \ln (y)$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$x^{y} \ln (x) y' - y^{x} \ln (y) = - y x^{y - 1} + x y^{x - 1} y'$

Etapa 5.2

Reordene os fatores em $x^{y} \ln (x) y' - y^{x} \ln (y)$ .

$y' x^{y} \ln (x) - y^{x} \ln (y) = - y x^{y - 1} + x y^{x - 1} y'$

Etapa 5.3

Reordene os fatores em $- y x^{y - 1} + x y^{x - 1} y'$ .

$y' x^{y} \ln (x) - y^{x} \ln (y) = - y x^{y - 1} + x y' y^{x - 1}$

Etapa 5.4

Reordene os fatores em $y' x^{y} \ln (x) - y^{x} \ln (y)$ .

$y' \ln (x) x^{y} - \ln (y) y^{x} = - y x^{y - 1} + x y' y^{x - 1}$

Etapa 5.5

Subtraia $x y' y^{x - 1}$ dos dois lados da equação.

$y' \ln (x) x^{y} - \ln (y) y^{x} - x y' y^{x - 1} = - y x^{y - 1}$

Etapa 5.6

Some $\ln (y) y^{x}$ aos dois lados da equação.

$y' \ln (x) x^{y} - x y' y^{x - 1} = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$

Etapa 5.7

Fatore $y'$ de $y' \ln (x) x^{y} - x y' y^{x - 1}$ .

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Etapa 5.7.1

Fatore $y'$ de $y' \ln (x) x^{y}$ .

$y' (\ln (x) x^{y}) - x y' y^{x - 1} = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$

Etapa 5.7.2

Fatore $y'$ de $- x y' y^{x - 1}$ .

$y' (\ln (x) x^{y}) + y' (- x y^{x - 1}) = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$

Etapa 5.7.3

Fatore $y'$ de $y' (\ln (x) x^{y}) + y' (- x y^{x - 1})$ .

$y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}) = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$

Etapa 5.8

Divida cada termo em $y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}) = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$ por $\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}$ e simplifique.

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Etapa 5.8.1

Divida cada termo em $y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}) = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$ por $\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}$ .

$\frac{y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} = \frac{- y x^{y - 1}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} + \frac{\ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Etapa 5.8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.8.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}$ .

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Etapa 5.8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} = \frac{- y x^{y - 1}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} + \frac{\ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Etapa 5.8.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y x^{y - 1}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} + \frac{\ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Etapa 5.8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.8.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Etapa 5.8.3.2

Fatore $- 1$ de $- y x^{y - 1}$ .

$y' = \frac{- (y x^{y - 1}) + \ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Etapa 5.8.3.3

Fatore $- 1$ de $\ln (y) y^{x}$ .

$y' = \frac{- (y x^{y - 1}) - (- \ln (y) y^{x})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Etapa 5.8.3.4

Fatore $- 1$ de $- (y x^{y - 1}) - (- \ln (y) y^{x})$ .

$y' = \frac{- (y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Etapa 5.8.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.8.3.5.1

Reescreva $- (y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x})$ como $- 1 (y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x})$ .

$y' = \frac{- 1 (y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Etapa 5.8.3.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$