Cálculo Exemplos

$y = e^{- x} \sin (x)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{- x} \sin (x))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{- x}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{- x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 3.4

Diferencie.

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Etapa 3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Etapa 3.4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.4.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} \cdot - 1)$

Etapa 3.4.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- 1 \cdot e^{- x})$

Etapa 3.4.3.3

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})$

Etapa 3.4.3.4

Reordene os termos.

$e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$