Cálculo Exemplos

$y = \cot^{2} (\sin (θ))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ é $f' (g (θ)) g' (θ)$ , em que $f (θ) = θ^{2}$ e $g (θ) = \cot (\sin (θ))$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\cot (\sin (θ))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d θ} [\cot (\sin (θ))]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d θ} [\cot (\sin (θ))]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\cot (\sin (θ))$ .

$2 \cot (\sin (θ)) \frac{d}{d θ} [\cot (\sin (θ))]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ é $f' (g (θ)) g' (θ)$ , em que $f (θ) = \cot (θ)$ e $g (θ) = \sin (θ)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\sin (θ)$ .

$2 \cot (\sin (θ)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d θ} [\sin (θ)])$

Etapa 2.2

A derivada de $\cot (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$2 \cot (\sin (θ)) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sin (θ)$ .

$2 \cot (\sin (θ)) (- \csc^{2} (\sin (θ)) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)])$

Etapa 3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \cot (\sin (θ)) (\csc^{2} (\sin (θ)) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)])$

Etapa 4

A derivada de $\sin (θ)$ em relação a $θ$ é $\cos (θ)$ .

$- 2 \cot (\sin (θ)) \csc^{2} (\sin (θ)) \cos (θ)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reordene os fatores de $- 2 \cot (\sin (θ)) \csc^{2} (\sin (θ)) \cos (θ)$ .

$- 2 \csc^{2} (\sin (θ)) \cos (θ) \cot (\sin (θ))$

Etapa 5.2

Reescreva $\csc (\sin (θ))$ em termos de senos e cossenos.

$- 2 {(\frac{1}{\sin (\sin (θ))})}^{2} \cos (θ) \cot (\sin (θ))$

Etapa 5.3

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\sin (\sin (θ))}$ .

$- 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cos (θ) \cot (\sin (θ))$

Etapa 5.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 2 \frac{1}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cos (θ) \cot (\sin (θ))$

Etapa 5.5

Combine $- 2$ e $\frac{1}{\sin^{2} (\sin (θ))}$ .

$\frac{- 2}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cos (θ) \cot (\sin (θ))$

Etapa 5.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cos (θ) \cot (\sin (θ))$

Etapa 5.7

Combine $\cos (θ)$ e $\frac{2}{\sin^{2} (\sin (θ))}$ .

$- \frac{\cos (θ) \cdot 2}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cot (\sin (θ))$

Etapa 5.8

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (θ)$ .

$- \frac{2 \cdot \cos (θ)}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cot (\sin (θ))$

Etapa 5.9

Reescreva $\cot (\sin (θ))$ em termos de senos e cossenos.

$- \frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cdot \frac{\cos (\sin (θ))}{\sin (\sin (θ))}$

Etapa 5.10

Multiplique $- \frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cdot \frac{\cos (\sin (θ))}{\sin (\sin (θ))}$ .

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Etapa 5.10.1

Multiplique $\frac{\cos (\sin (θ))}{\sin (\sin (θ))}$ por $\frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (\sin (θ))}$ .

$- \frac{\cos (\sin (θ)) (2 \cos (θ))}{\sin (\sin (θ)) \sin^{2} (\sin (θ))}$

Etapa 5.10.2

Multiplique $\sin (\sin (θ))$ por $\sin^{2} (\sin (θ))$ somando os expoentes.

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Etapa 5.10.2.1

Multiplique $\sin (\sin (θ))$ por $\sin^{2} (\sin (θ))$ .

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Etapa 5.10.2.1.1

Eleve $\sin (\sin (θ))$ à potência de $1$ .

$- \frac{\cos (\sin (θ)) (2 \cos (θ))}{\sin^{1} (\sin (θ)) \sin^{2} (\sin (θ))}$

Etapa 5.10.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{\cos (\sin (θ)) (2 \cos (θ))}{{\sin (\sin (θ))}^{1 + 2}}$

Etapa 5.10.2.2

Some $1$ e $2$ .

$- \frac{\cos (\sin (θ)) (2 \cos (θ))}{\sin^{3} (\sin (θ))}$

Etapa 5.11

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (\sin (θ))$ .

$- \frac{2 \cdot \cos (\sin (θ)) \cos (θ)}{\sin^{3} (\sin (θ))}$

Etapa 5.12

Fatore $\sin (\sin (θ))$ de $\sin^{3} (\sin (θ))$ .

$- \frac{2 \cos (\sin (θ)) \cos (θ)}{\sin (\sin (θ)) \sin^{2} (\sin (θ))}$

Etapa 5.13

Separe as frações.

$- (\frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cdot \frac{\cos (\sin (θ))}{\sin (\sin (θ))})$

Etapa 5.14

Converta de $\frac{\cos (\sin (θ))}{\sin (\sin (θ))}$ em $\cot (\sin (θ))$ .

$- (\frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cot (\sin (θ)))$

Etapa 5.15

Fatore $\sin (\sin (θ))$ de $\sin^{2} (\sin (θ))$ .

$- (\frac{2 \cos (θ)}{\sin (\sin (θ)) \sin (\sin (θ))} \cot (\sin (θ)))$

Etapa 5.16

Separe as frações.

$- (\frac{2}{\sin (\sin (θ))} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (\sin (θ))} \cot (\sin (θ)))$

Etapa 5.17

Reescreva $\frac{\cos (θ)}{\sin (\sin (θ))}$ como um produto.

$- (\frac{2}{\sin (\sin (θ))} (\cos (θ) \frac{1}{\sin (\sin (θ))}) \cot (\sin (θ)))$

Etapa 5.18

Escreva $\cos (θ)$ como uma fração com denominador $1$ .

$- (\frac{2}{\sin (\sin (θ))} (\frac{\cos (θ)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\sin (θ))}) \cot (\sin (θ)))$

Etapa 5.19

Simplifique.

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Etapa 5.19.1

Divida $\cos (θ)$ por $1$ .

$- (\frac{2}{\sin (\sin (θ))} (\cos (θ) \frac{1}{\sin (\sin (θ))}) \cot (\sin (θ)))$

Etapa 5.19.2

Converta de $\frac{1}{\sin (\sin (θ))}$ em $\csc (\sin (θ))$ .

$- (\frac{2}{\sin (\sin (θ))} (\cos (θ) \csc (\sin (θ))) \cot (\sin (θ)))$

Etapa 5.20

Separe as frações.

$- (\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\sin (θ))} (\cos (θ) \csc (\sin (θ))) \cot (\sin (θ)))$

Etapa 5.21

Converta de $\frac{1}{\sin (\sin (θ))}$ em $\csc (\sin (θ))$ .

$- (\frac{2}{1} \csc (\sin (θ)) (\cos (θ) \csc (\sin (θ))) \cot (\sin (θ)))$

Etapa 5.22

Divida $2$ por $1$ .

$- (2 \csc (\sin (θ)) (\cos (θ) \csc (\sin (θ))) \cot (\sin (θ)))$

Etapa 5.23

Multiplique $2 \csc (\sin (θ)) (\cos (θ) \csc (\sin (θ)))$ .

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Etapa 5.23.1

Eleve $\csc (\sin (θ))$ à potência de $1$ .

$- (2 (\csc^{1} (\sin (θ)) \csc (\sin (θ))) \cos (θ) \cot (\sin (θ)))$

Etapa 5.23.2

Eleve $\csc (\sin (θ))$ à potência de $1$ .

$- (2 (\csc^{1} (\sin (θ)) \csc^{1} (\sin (θ))) \cos (θ) \cot (\sin (θ)))$

Etapa 5.23.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- (2 {\csc (\sin (θ))}^{1 + 1} \cos (θ) \cot (\sin (θ)))$

Etapa 5.23.4

Some $1$ e $1$ .

$- (2 \csc^{2} (\sin (θ)) \cos (θ) \cot (\sin (θ)))$

Etapa 5.24

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \csc^{2} (\sin (θ)) \cos (θ) \cot (\sin (θ))$