Cálculo Exemplos

$x e^{y} = x - y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x e^{y}) = \frac{d}{d x} (x - y)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{y}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$x (e^{y} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x e^{y} y' + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x e^{y} y' + e^{y} \cdot 1$

Etapa 2.5

Multiplique $e^{y}$ por $1$ .

$x e^{y} y' + e^{y}$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie.

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Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$1 - y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$x e^{y} y' + e^{y} = 1 - y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Reordene os fatores em $x e^{y} y' + e^{y}$ .

$x y' e^{y} + e^{y} = 1 - y'$

Etapa 5.2

Some $y'$ aos dois lados da equação.

$x y' e^{y} + e^{y} + y' = 1$

Etapa 5.3

Subtraia $e^{y}$ dos dois lados da equação.

$x y' e^{y} + y' = 1 - e^{y}$

Etapa 5.4

Fatore $y'$ de $x y' e^{y} + y'$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $y'$ de $x y' e^{y}$ .

$y' (x e^{y}) + y' = 1 - e^{y}$

Etapa 5.4.2

Eleve $y'$ à potência de $1$ .

$y' (x e^{y}) + y' = 1 - e^{y}$

Etapa 5.4.3

Fatore $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' (x e^{y}) + y' \cdot 1 = 1 - e^{y}$

Etapa 5.4.4

Fatore $y'$ de $y' (x e^{y}) + y' \cdot 1$ .

$y' (x e^{y} + 1) = 1 - e^{y}$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $y' (x e^{y} + 1) = 1 - e^{y}$ por $x e^{y} + 1$ e simplifique.

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Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $y' (x e^{y} + 1) = 1 - e^{y}$ por $x e^{y} + 1$ .

$\frac{y' (x e^{y} + 1)}{x e^{y} + 1} = \frac{1}{x e^{y} + 1} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} + 1}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $x e^{y} + 1$ .

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Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x e^{y} + 1)}{x e^{y} + 1} = \frac{1}{x e^{y} + 1} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} + 1}$

Etapa 5.5.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{x e^{y} + 1} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} + 1}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{1 - e^{y}}{x e^{y} + 1}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - e^{y}}{x e^{y} + 1}$