Cálculo Exemplos

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}}$ ; $[1, 4]$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$

Etapa 1.2

Resolva $\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 1.2.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$4, 8 x^{2}, 1 + y = 0$

Etapa 1.2.1.2

Since $4, 8 x^{2}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $4, 8, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}$ .

Etapa 1.2.1.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

$1$ Liste os fatores primos de cada número.

Etapa 1.2.1.4

$4$ tem fatores de $2$ e $2$ .

$2 \cdot 2 + y = 0$

Etapa 1.2.1.5

Os fatores primos de $8$ são $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Etapa 1.2.1.5.1

$8$ tem fatores de $2$ e $4$ .

$2 \cdot 4$

Etapa 1.2.1.5.2

$4$ tem fatores de $2$ e $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2$

$2 \cdot 2 \cdot 2 + y = 0$

Etapa 1.2.1.6

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Not $p r i m e + y = 0$

Etapa 1.2.1.7

O MMC de $4, 8, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$2 \cdot 2 \cdot 2 + y = 0$

Etapa 1.2.1.8

Multiplique $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Etapa 1.2.1.8.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 \cdot 2 + y = 0$

Etapa 1.2.1.8.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$8 + y = 0$

Etapa 1.2.1.9

Os fatores para $x^{2}$ são $x \cdot x$ , que é $x$ multiplicado um pelo outro $2$ vezes.

$x^{2} = x \cdot x$

Etapa 1.2.1.10

O MMC de $x^{2}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$x \cdot x + y = 0$

Etapa 1.2.1.11

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + y = 0$

Etapa 1.2.1.12

O MMC de $4, 8 x^{2}, 1$ é a parte numérica $8$ multiplicada pela parte variável.

$8 x^{2} + y = 0$

Etapa 1.2.2

Multiplique cada termo em $\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$ por $8 x^{2}$ para eliminar as frações.

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Etapa 1.2.2.1

Multiplique cada termo em $\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$ por $8 x^{2}$ .

$\frac{x^{4}}{4} (8 x^{2}) + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.2.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$8 \frac{x^{4}}{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 1.2.2.2.1.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$4 (2) \frac{x^{4}}{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Etapa 1.2.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$4 \cdot 2 \frac{x^{4}}{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Etapa 1.2.2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$2 x^{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Etapa 1.2.2.2.1.3

Multiplique $x^{4}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.2.2.2.1.3.1

Mova $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x^{4}) + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Etapa 1.2.2.2.1.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x^{2 + 4} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Etapa 1.2.2.2.1.3.3

Some $2$ e $4$ .

$2 x^{6} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Etapa 1.2.2.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 x^{6} + 8 \frac{1}{8 x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

Etapa 1.2.2.2.1.5

Cancele o fator comum de $8$ .

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Etapa 1.2.2.2.1.5.1

Fatore $8$ de $8 x^{2}$ .

$2 x^{6} + 8 \frac{1}{8 (x^{2})} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

Etapa 1.2.2.2.1.5.2

Cancele o fator comum.

$2 x^{6} + 8 \frac{1}{8 x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

Etapa 1.2.2.2.1.5.3

Reescreva a expressão.

$2 x^{6} + \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

Etapa 1.2.2.2.1.6

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 1.2.2.2.1.6.1

Cancele o fator comum.

$2 x^{6} + \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

Etapa 1.2.2.2.1.6.2

Reescreva a expressão.

$2 x^{6} + 1 = 0 (8 x^{2})$

Etapa 1.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.2.3.1

Multiplique $0 (8 x^{2})$ .

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Etapa 1.2.2.3.1.1

Multiplique $8$ por $0$ .

$2 x^{6} + 1 = 0 x^{2}$

Etapa 1.2.2.3.1.2

Multiplique $0$ por $x^{2}$ .

$2 x^{6} + 1 = 0$

Etapa 1.2.3

Resolva a equação.

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Etapa 1.2.3.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 x^{6} = - 1$

Etapa 1.2.3.2

Divida cada termo em $2 x^{6} = - 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 1.2.3.2.1

Divida cada termo em $2 x^{6} = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{6}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 1.2.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{6}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 1.2.3.2.2.1.2

Divida $x^{6}$ por $1$ .

$x^{6} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 1.2.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{6} = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[6]{- \frac{1}{2}}$

Etapa 1.2.3.4

Simplifique $\pm \sqrt[6]{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 1.2.3.4.1

Reescreva $- \frac{1}{2}$ como $i^{6} \frac{1^{6}}{2}$ .

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Etapa 1.2.3.4.1.1

Reescreva $- 1$ como $i^{6}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{i^{6} \frac{1}{2}}$

Etapa 1.2.3.4.1.2

Reescreva $1$ como $1^{6}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{i^{6} \frac{1^{6}}{2}}$

Etapa 1.2.3.4.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm i \sqrt[6]{\frac{1^{6}}{2}}$

Etapa 1.2.3.4.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \pm i \sqrt[6]{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.2.3.4.4

Reescreva $\sqrt[6]{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{2}}$

Etapa 1.2.3.4.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt[6]{2}}$

Etapa 1.2.3.4.6

Combine $i$ e $\frac{1}{\sqrt[6]{2}}$ .

$x = \pm \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

Etapa 1.2.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.2.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

Etapa 1.2.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

Etapa 1.2.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}, - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

Etapa 1.3

Substitua $\frac{i}{\sqrt[6]{2}}$ por $x$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

Liste todas as soluções.

$y = 0, x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

$y = 0, x = - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

$y = 0, x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

$y = 0, x = - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} d x - \int_{1}^{4} 0 d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $1$ e $4$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} - (0) d x$

Etapa 3.2

Subtraia $0$ de $\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} d x$

Etapa 3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} d x + \int_{1}^{4} \frac{1}{8 x^{2}} d x$

Etapa 3.4

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{4} x^{4} d x + \int_{1}^{4} \frac{1}{8 x^{2}} d x$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} \frac{1}{8 x^{2}} d x$

Etapa 3.6

Como $\frac{1}{8}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{8}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 3.7

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 3.7.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 3.7.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.7.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 3.7.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} x^{- 2} d x$

Etapa 3.8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} - x^{- 1}]_{1}^{4}$

Etapa 3.9

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.9.1

Avalie $\frac{1}{5} x^{5}$ em $4$ e em $1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{5} \cdot 4^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} - x^{- 1}]_{1}^{4}$

Etapa 3.9.2

Avalie $- x^{- 1}$ em $4$ e em $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 4^{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Etapa 3.9.3

Simplifique.

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Etapa 3.9.3.1

Eleve $4$ à potência de $5$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1024 - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Etapa 3.9.3.2

Combine $\frac{1}{5}$ e $1024$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1024}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Etapa 3.9.3.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{4} (\frac{1024}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Etapa 3.9.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1024}{5} - \frac{1}{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Etapa 3.9.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1024 - 1}{5} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Etapa 3.9.3.6

Subtraia $1$ de $1024$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1023}{5} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Etapa 3.9.3.7

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1023}{5}$ .

$\frac{1023}{4 \cdot 5} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Etapa 3.9.3.8

Multiplique $4$ por $5$ .

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Etapa 3.9.3.9

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- \frac{1}{4} + 1^{- 1})$

Etapa 3.9.3.10

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- \frac{1}{4} + 1)$

Etapa 3.9.3.11

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})$

Etapa 3.9.3.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 1 + 4}{4}$

Etapa 3.9.3.13

Some $- 1$ e $4$ .

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} \cdot \frac{3}{4}$

Etapa 3.9.3.14

Multiplique $\frac{1}{8}$ por $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1023}{20} + \frac{3}{8 \cdot 4}$

Etapa 3.9.3.15

Multiplique $8$ por $4$ .

$\frac{1023}{20} + \frac{3}{32}$

Etapa 3.9.3.16

Para escrever $\frac{1023}{20}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1023}{20} \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{32}$

Etapa 3.9.3.17

Para escrever $\frac{3}{32}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1023}{20} \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{32} \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 3.9.3.18

Escreva cada expressão com um denominador comum de $160$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.9.3.18.1

Multiplique $\frac{1023}{20}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1023 \cdot 8}{20 \cdot 8} + \frac{3}{32} \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 3.9.3.18.2

Multiplique $20$ por $8$ .

$\frac{1023 \cdot 8}{160} + \frac{3}{32} \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 3.9.3.18.3

Multiplique $\frac{3}{32}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1023 \cdot 8}{160} + \frac{3 \cdot 5}{32 \cdot 5}$

Etapa 3.9.3.18.4

Multiplique $32$ por $5$ .

$\frac{1023 \cdot 8}{160} + \frac{3 \cdot 5}{160}$

Etapa 3.9.3.19

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1023 \cdot 8 + 3 \cdot 5}{160}$

Etapa 3.9.3.20

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.9.3.20.1

Multiplique $1023$ por $8$ .

$\frac{8184 + 3 \cdot 5}{160}$

Etapa 3.9.3.20.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{8184 + 15}{160}$

Etapa 3.9.3.20.3

Some $8184$ e $15$ .

$\frac{8199}{160}$

Etapa 4