Cálculo Exemplos

$y = x^{2} - 3$ , $[0, 6]$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$x^{2} - 3 = 0$

Etapa 1.2

Resolva $x^{2} - 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 3$

Etapa 1.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{3}$

Etapa 1.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{3}$

Etapa 1.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{3}$

Etapa 1.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 1.3

Substitua $\sqrt{3}$ por $x$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(\sqrt{3}, 0)$

$(- \sqrt{3}, 0)$

$(\sqrt{3}, 0)$

$(- \sqrt{3}, 0)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{\sqrt{3}} 0 d x - \int_{0}^{\sqrt{3}} x^{2} - 3 d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $0$ e $\sqrt{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} 0 - (x^{2} - 3) d x$

Etapa 3.2

Subtraia $x^{2} - 3$ de $0$ .

$\int_{0}^{\sqrt{3}} - (x^{2} - 3) d x$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} - x^{2} + 3 d x$

Etapa 3.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} - x^{2} d x + \int_{0}^{\sqrt{3}} 3 d x$

Etapa 3.5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{0}^{\sqrt{3}} x^{2} d x + \int_{0}^{\sqrt{3}} 3 d x$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{\sqrt{3}}) + \int_{0}^{\sqrt{3}} 3 d x$

Etapa 3.7

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\sqrt{3}}) + \int_{0}^{\sqrt{3}} 3 d x$

Etapa 3.8

Aplique a regra da constante.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\sqrt{3}}) + 3 x]_{0}^{\sqrt{3}}$

Etapa 3.9

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $\sqrt{3}$ e em $0$ .

$- ((\frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 3 x]_{0}^{\sqrt{3}}$

Etapa 3.9.1.2

Avalie $3 x$ em $\sqrt{3}$ e em $0$ .

$- (\frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Etapa 3.9.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1.3.1

Reescreva ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$- (\frac{\sqrt{3^{3}}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Etapa 3.9.1.3.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Etapa 3.9.1.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{0}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Etapa 3.9.1.3.4

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1.3.4.1

Fatore $3$ de $0$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Etapa 3.9.1.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1.3.4.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Etapa 3.9.1.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Etapa 3.9.1.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{0}{1}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Etapa 3.9.1.3.4.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - 0) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Etapa 3.9.1.3.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} + 0) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Etapa 3.9.1.3.6

Some $\frac{\sqrt{27}}{3}$ e $0$ .

$- \frac{\sqrt{27}}{3} + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Etapa 3.9.1.3.7

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$- \frac{\sqrt{27}}{3} + 3 \sqrt{3} + 0$

Etapa 3.9.1.3.8

Some $3 \sqrt{3}$ e $0$ .

$- \frac{\sqrt{27}}{3} + 3 \sqrt{3}$

Etapa 3.9.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.1

Reescreva $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.1.1

Fatore $9$ de $27$ .

$- \frac{\sqrt{9 (3)}}{3} + 3 \sqrt{3}$

Etapa 3.9.2.1.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3} + 3 \sqrt{3}$

Etapa 3.9.2.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3} + 3 \sqrt{3}$

Etapa 3.9.2.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3} + 3 \sqrt{3}$

Etapa 3.9.2.3.2

Divida $\sqrt{3}$ por $1$ .

$- \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}$

Etapa 3.9.2.4

Some $- \sqrt{3}$ e $3 \sqrt{3}$ .

$2 \sqrt{3}$

Etapa 4

$A r e a = \int_{\sqrt{3}}^{6} x^{2} - 3 d x - \int_{\sqrt{3}}^{6} 0 d x$

Etapa 5

Integre para encontrar a área entre $\sqrt{3}$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{\sqrt{3}}^{6} x^{2} - 3 - (0) d x$

Etapa 5.2

Subtraia $0$ de $x^{2} - 3$ .

$\int_{\sqrt{3}}^{6} x^{2} - 3 d x$

Etapa 5.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{\sqrt{3}}^{6} x^{2} d x + \int_{\sqrt{3}}^{6} - 3 d x$

Etapa 5.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{\sqrt{3}}^{6} + \int_{\sqrt{3}}^{6} - 3 d x$

Etapa 5.5

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{\sqrt{3}}^{6} + - 3 x]_{\sqrt{3}}^{6}$

Etapa 5.6

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Combine $\frac{1}{3} x^{3}]_{\sqrt{3}}^{6}$ e $- 3 x]_{\sqrt{3}}^{6}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - 3 x]_{\sqrt{3}}^{6}$

Etapa 5.6.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1

Avalie $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x$ em $6$ e em $\sqrt{3}$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 6^{3} - 3 \cdot 6) - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Etapa 5.6.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.1

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 216 - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Etapa 5.6.2.2.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $216$ .

$\frac{216}{3} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Etapa 5.6.2.2.3

Cancele o fator comum de $216$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.3.1

Fatore $3$ de $216$ .

$\frac{3 \cdot 72}{3} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Etapa 5.6.2.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.3.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Etapa 5.6.2.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Etapa 5.6.2.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{72}{1} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Etapa 5.6.2.2.3.2.4

Divida $72$ por $1$ .

$72 - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Etapa 5.6.2.2.4

Multiplique $- 3$ por $6$ .

$72 - 18 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Etapa 5.6.2.2.5

Subtraia $18$ de $72$ .

$54 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Etapa 5.6.2.2.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$54 - (\frac{1}{3} \sqrt{3^{3}} - 3 \sqrt{3})$

Etapa 5.6.2.2.7

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$54 - (\frac{1}{3} \sqrt{27} - 3 \sqrt{3})$

Etapa 5.6.2.2.8

Combine $\frac{1}{3}$ e $\sqrt{27}$ .

$54 - (\frac{\sqrt{27}}{3} - 3 \sqrt{3})$

Etapa 5.6.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.3.1

Reescreva $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.3.1.1

Fatore $9$ de $27$ .

$54 - (\frac{\sqrt{9 (3)}}{3} - 3 \sqrt{3})$

Etapa 5.6.3.1.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$54 - (\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3} - 3 \sqrt{3})$

Etapa 5.6.3.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$54 - (\frac{3 \sqrt{3}}{3} - 3 \sqrt{3})$

Etapa 5.6.3.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.3.3.1

Cancele o fator comum.

$54 - (\frac{3 \sqrt{3}}{3} - 3 \sqrt{3})$

Etapa 5.6.3.3.2

Divida $\sqrt{3}$ por $1$ .

$54 - (\sqrt{3} - 3 \sqrt{3})$

Etapa 5.6.3.4

Subtraia $3 \sqrt{3}$ de $\sqrt{3}$ .

$54 - (- 2 \sqrt{3})$

Etapa 5.6.3.5

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$54 + 2 \sqrt{3}$

Etapa 6

Some $2 \sqrt{3}$ e $2 \sqrt{3}$ .

$54 + 4 \sqrt{3}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$54 + 4 \sqrt{3}$

Forma decimal:

$60.92820323 \dots$

Etapa 8