Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{e^{x}}{x^{3}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Etapa 1.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Etapa 1.2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - e^{x} (3 x^{2})}{x^{6}}$

Etapa 1.4.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Reordene os fatores em $x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x}}{x^{6}}$

Etapa 1.5.2

Reordene os termos.

$\frac{e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 1.5.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Fatore $x^{2}$ de $e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1.1

Fatore $x^{2}$ de $e^{x} x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} x) - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 1.5.3.1.2

Fatore $x^{2}$ de $- 3 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} x) + x^{2} (- 3 e^{x})}{x^{6}}$

Etapa 1.5.3.1.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (e^{x} x) + x^{2} (- 3 e^{x})$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} x - 3 e^{x})}{x^{6}}$

Etapa 1.5.3.2

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} x - 3 e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} x$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (x) - 3 e^{x})}{x^{6}}$

Etapa 1.5.3.2.2

Fatore $e^{x}$ de $- 3 e^{x}$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 3)}{x^{6}}$

Etapa 1.5.3.2.3

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 3$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{6}}$

$\frac{x^{2} e^{x} (x - 3)}{x^{6}}$

Etapa 1.5.4

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x^{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} e^{x} (x - 3)$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{6}}$

Etapa 1.5.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Etapa 1.5.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Etapa 1.5.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 3)) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{{(x^{4})}^{2}}$

Etapa 2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 3)) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{4 \cdot 2}}$

Etapa 2.2.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 3)) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x - 3$ .

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} \frac{d}{d x} (x - 3) + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Etapa 2.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Etapa 2.4.3

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Etapa 2.4.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Etapa 2.4.4.2

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - e^{x} (x - 3) (4 x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 2.6.2

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3) x^{3}}{x^{8}}$

Etapa 2.6.2.2

Fatore $x^{3}$ de $x^{4} (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3) x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.2.1

Fatore $x^{3}$ de $x^{4} (e^{x} + (x - 3) e^{x})$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x})) - 4 e^{x} (x - 3) x^{3}}{x^{8}}$

Etapa 2.6.2.2.2

Fatore $x^{3}$ de $- 4 e^{x} (x - 3) x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x})) + x^{3} (- 4 e^{x} (x - 3))}{x^{8}}$

Etapa 2.6.2.2.3

Fatore $x^{3}$ de $x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x})) + x^{3} (- 4 e^{x} (x - 3))$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3))}{x^{8}}$

Etapa 2.7

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Fatore $x^{3}$ de $x^{8}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3))}{x^{3} x^{5}}$

Etapa 2.7.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3))}{x^{3} x^{5}}$

Etapa 2.7.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{x (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3)}{x^{5}}$

Etapa 2.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (e^{x} + x e^{x} - 3 e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3)}{x^{5}}$

Etapa 2.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 3 e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3)}{x^{5}}$

Etapa 2.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 3 e^{x}) - 4 e^{x} x - 4 e^{x} \cdot - 3}{x^{5}}$

Etapa 2.8.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.4.1.1.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x \cdot x e^{x} + x (- 3 e^{x}) - 4 e^{x} x - 4 e^{x} \cdot - 3}{x^{5}}$

Etapa 2.8.4.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x^{2} e^{x} + x (- 3 e^{x}) - 4 e^{x} x - 4 e^{x} \cdot - 3}{x^{5}}$

Etapa 2.8.4.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 4 e^{x} x - 4 e^{x} \cdot - 3}{x^{5}}$

Etapa 2.8.4.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 4 e^{x} x + 12 e^{x}}{x^{5}}$

Etapa 2.8.4.2

Subtraia $3 x e^{x}$ de $x e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x e^{x} + x^{2} e^{x} - 4 e^{x} x + 12 e^{x}}{x^{5}}$

Etapa 2.8.4.3

Subtraia $4 e^{x} x$ de $- 2 x e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.4.3.1

Mova $e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x e^{x} - 4 x e^{x} + x^{2} e^{x} + 12 e^{x}}{x^{5}}$

Etapa 2.8.4.3.2

Subtraia $4 x e^{x}$ de $- 2 x e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x e^{x} + x^{2} e^{x} + 12 e^{x}}{x^{5}}$

Etapa 2.8.5

Reordene os termos.

$f'' (x) = \frac{- 6 e^{x} x + e^{x} x^{2} + 12 e^{x}}{x^{5}}$

Etapa 2.8.6

Fatore $- 1$ de $- 6 e^{x} x$ .

$f'' (x) = \frac{- (6 e^{x} x) + e^{x} x^{2} + 12 e^{x}}{x^{5}}$

Etapa 2.8.7

Fatore $- 1$ de $e^{x} x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- (6 e^{x} x) - (- e^{x} x^{2}) + 12 e^{x}}{x^{5}}$

Etapa 2.8.8

Fatore $- 1$ de $- (6 e^{x} x) - (- e^{x} x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{- (6 e^{x} x - e^{x} x^{2}) + 12 e^{x}}{x^{5}}$

Etapa 2.8.9

Fatore $- 1$ de $12 e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- (6 e^{x} x - e^{x} x^{2}) - (- 12 e^{x})}{x^{5}}$

Etapa 2.8.10

Fatore $- 1$ de $- (6 e^{x} x - e^{x} x^{2}) - (- 12 e^{x})$ .

$f'' (x) = \frac{- (6 e^{x} x - e^{x} x^{2} - 12 e^{x})}{x^{5}}$

Etapa 2.8.11

Reescreva $- (6 e^{x} x - e^{x} x^{2} - 12 e^{x})$ como $- 1 (6 e^{x} x - e^{x} x^{2} - 12 e^{x})$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 (6 e^{x} x - e^{x} x^{2} - 12 e^{x})}{x^{5}}$

Etapa 2.8.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{6 e^{x} x - e^{x} x^{2} - 12 e^{x}}{x^{5}}$

Etapa 2.8.13

Reordene os fatores em $- \frac{6 e^{x} x - e^{x} x^{2} - 12 e^{x}}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{6 x e^{x} - x^{2} e^{x} - 12 e^{x}}{x^{5}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Etapa 4.1.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - e^{x} (3 x^{2})}{x^{6}}$

Etapa 4.1.4.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 4.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

Reordene os fatores em $x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x}}{x^{6}}$

Etapa 4.1.5.2

Reordene os termos.

$\frac{e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 4.1.5.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.3.1

Fatore $x^{2}$ de $e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.3.1.1

Fatore $x^{2}$ de $e^{x} x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} x) - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 4.1.5.3.1.2

Fatore $x^{2}$ de $- 3 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} x) + x^{2} (- 3 e^{x})}{x^{6}}$

Etapa 4.1.5.3.1.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (e^{x} x) + x^{2} (- 3 e^{x})$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} x - 3 e^{x})}{x^{6}}$

Etapa 4.1.5.3.2

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} x - 3 e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.3.2.1

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} x$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (x) - 3 e^{x})}{x^{6}}$

Etapa 4.1.5.3.2.2

Fatore $e^{x}$ de $- 3 e^{x}$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 3)}{x^{6}}$

Etapa 4.1.5.3.2.3

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 3$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{6}}$

$\frac{x^{2} e^{x} (x - 3)}{x^{6}}$

Etapa 4.1.5.4

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x^{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.4.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} e^{x} (x - 3)$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{6}}$

Etapa 4.1.5.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.4.2.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Etapa 4.1.5.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Etapa 4.1.5.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$ .

$\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$e^{x} (x - 3) = 0$

Etapa 5.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 5.3.2

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Etapa 5.3.2.2

Resolva $e^{x} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Etapa 5.3.2.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 5.3.2.2.3

Não há uma solução para $e^{x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 5.3.3

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 5.3.3.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 5.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $e^{x} (x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 3$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina o denominador em $\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{4} = 0$

Etapa 6.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Etapa 6.2.2

Simplifique $\pm \sqrt[4]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Etapa 6.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 6.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 3$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 3$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{6 (3) e^{3} - {(3)}^{2} e^{3} - 12 e^{3}}{{(3)}^{5}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Multiplique $6$ por $3$ .

$- \frac{18 e^{3} - 3^{2} e^{3} - 12 e^{3}}{3^{5}}$

Etapa 9.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$- \frac{18 e^{3} - 1 \cdot 9 e^{3} - 12 e^{3}}{3^{5}}$

Etapa 9.1.3

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$- \frac{18 e^{3} - 9 e^{3} - 12 e^{3}}{3^{5}}$

Etapa 9.1.4

Subtraia $9 e^{3}$ de $18 e^{3}$ .

$- \frac{9 e^{3} - 12 e^{3}}{3^{5}}$

Etapa 9.1.5

Subtraia $12 e^{3}$ de $9 e^{3}$ .

$- \frac{- 3 e^{3}}{3^{5}}$

Etapa 9.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Eleve $3$ à potência de $5$ .

$- \frac{- 3 e^{3}}{243}$

Etapa 9.2.2

Cancele o fator comum de $- 3$ e $243$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Fatore $3$ de $- 3 e^{3}$ .

$- \frac{3 (- e^{3})}{243}$

Etapa 9.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.2.1

Fatore $3$ de $243$ .

$- \frac{3 (- e^{3})}{3 (81)}$

Etapa 9.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{3 (- e^{3})}{3 \cdot 81}$

Etapa 9.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{- e^{3}}{81}$

Etapa 9.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{e^{3}}{81}$

Etapa 9.3

Multiplique $- - \frac{e^{3}}{81}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{e^{3}}{81}$

Etapa 9.3.2

Multiplique $\frac{e^{3}}{81}$ por $1$ .

$\frac{e^{3}}{81}$

Etapa 10

$x = 3$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 3$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = \frac{e^{3}}{{(3)}^{3}}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (3) = \frac{e^{3}}{27}$

Etapa 11.2.2

A resposta final é $\frac{e^{3}}{27}$ .

$y = \frac{e^{3}}{27}$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{e^{x}}{x^{3}}$ .

$(3, \frac{e^{3}}{27})$ é um mínimo local

Etapa 13