Cálculo Exemplos

$y = \sqrt{1 - x^{2}}$ , $y = 0$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$\sqrt{1 - x^{2}} = 0$

Etapa 1.2

Resolva $\sqrt{1 - x^{2}} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{1 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Etapa 1.2.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 - x^{2}}$ como ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Simplifique ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(1 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Simplifique.

$1 - x^{2} = 0^{2}$

Etapa 1.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$1 - x^{2} = 0$

Etapa 1.2.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- x^{2} = - 1$

Etapa 1.2.3.2

Divida cada termo em $- x^{2} = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 1.2.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 1.2.3.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 1.2.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Etapa 1.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 1.2.3.4

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 1.2.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.2.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 1.2.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 1.2.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 1.3

Substitua $1$ por $x$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(1, 0)$

$(- 1, 0)$

$(1, 0)$

$(- 1, 0)$

Etapa 2

Simplifique $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

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Etapa 2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y = \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

Etapa 2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Etapa 3

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 1}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)} d x - \int_{- 1}^{1} 0 d x$

Etapa 4

Integre para encontrar a área entre $- 1$ e $1$ .

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Etapa 4.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 1}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - (0) d x$

Etapa 4.2

Subtraia $0$ de $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

$\int_{- 1}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)} d x$

Etapa 4.3

Complete o quadrado.

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Etapa 4.3.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.1.1

Expanda $(1 + x) (1 - x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.3.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 (1 - x) + x (1 - x)$

Etapa 4.3.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)$

Etapa 4.3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

Etapa 4.3.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.3.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.1.2.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

Etapa 4.3.1.2.1.2

Multiplique $- x$ por $1$ .

$1 - x + x \cdot 1 + x (- x)$

Etapa 4.3.1.2.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$1 - x + x + x (- x)$

Etapa 4.3.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 - x + x - x \cdot x$

Etapa 4.3.1.2.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.1.5.1

Mova $x$ .

$1 - x + x - (x \cdot x)$

Etapa 4.3.1.2.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$1 - x + x - x^{2}$

Etapa 4.3.1.2.2

Some $- x$ e $x$ .

$1 + 0 - x^{2}$

Etapa 4.3.1.2.3

Some $1$ e $0$ .

$1 - x^{2}$

Etapa 4.3.1.3

Reordene $1$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 1$

Etapa 4.3.2

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 1$

Etapa 4.3.3

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 4.3.4

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 4.3.4.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.4.2.1

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

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Etapa 4.3.4.2.1.1

Fatore $2$ de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.3.4.2.1.2

Mova o número negativo do denominador de $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Etapa 4.3.4.2.2

Reescreva $- 1 \cdot 0$ como $- 0$ .

$d = - 0$

Etapa 4.3.4.2.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$d = 0$

Etapa 4.3.5

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 4.3.5.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Etapa 4.3.5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.5.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$e = 1 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Etapa 4.3.5.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$e = 1 - \frac{0}{- 4}$

Etapa 4.3.5.2.1.3

Divida $0$ por $- 4$ .

$e = 1 - 0$

Etapa 4.3.5.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$e = 1 + 0$

Etapa 4.3.5.2.2

Some $1$ e $0$ .

$e = 1$

Etapa 4.3.6

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- {(x + 0)}^{2} + 1$ .

$\int_{- 1}^{1} \sqrt{- {(x + 0)}^{2} + 1} d x$

Etapa 4.4

Deixe $u_{1} = x + 0$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 4.4.1

Deixe $u_{1} = x + 0$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.1

Diferencie $x + 0$ .

$\frac{d}{d x} [x + 0]$

Etapa 4.4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 0$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$

Etapa 4.4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [0]$

Etapa 4.4.1.4

Como $0$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 4.4.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 4.4.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{1} = x + 0$ .

$u_{lower} = - 1 + 0$

Etapa 4.4.3

Some $- 1$ e $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Etapa 4.4.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{1} = x + 0$ .

$u_{upper} = 1 + 0$

Etapa 4.4.5

Some $1$ e $0$ .

$u_{upper} = 1$

Etapa 4.4.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 1$

Etapa 4.4.7

Reescreva o problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e os novos limites de integração.

$\int_{- 1}^{1} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 1} d u_{1}$

Etapa 4.5

Deixe $u_{1} = \sin (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d u_{1} = \cos (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ é positivo.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- \sin^{2} (t) + 1} \cos (t) d t$

Etapa 4.6

Simplifique os termos.

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Etapa 4.6.1

Simplifique $\sqrt{- \sin^{2} (t) + 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.1

Reordene $- \sin^{2} (t)$ e $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Etapa 4.6.1.2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Etapa 4.6.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (t) \cos (t) d t$

Etapa 4.6.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.2.1

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{1} (t) \cos (t) d t$

Etapa 4.6.2.2

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t$

Etapa 4.6.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Etapa 4.6.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Etapa 4.7

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Etapa 4.8

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 4.9

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Etapa 4.10

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Etapa 4.11

Deixe $u_{2} = 2 t$ . Depois, $d u_{2} = 2 d t$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 4.11.1

Deixe $u_{2} = 2 t$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.11.1.1

Diferencie $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Etapa 4.11.1.2

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.11.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 4.11.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 4.11.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u_{2} = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Etapa 4.11.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.11.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{π}{2}$ para o numerador.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Etapa 4.11.3.2

Cancele o fator comum.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Etapa 4.11.3.3

Reescreva a expressão.

$u_{lower} = - π$

Etapa 4.11.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u_{2} = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Etapa 4.11.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.11.5.1

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Etapa 4.11.5.2

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = π$

Etapa 4.11.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

Etapa 4.11.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$\frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Etapa 4.12

Combine $\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Etapa 4.13

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Etapa 4.14

A integral de $\cos (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

Etapa 4.15

Substitua e simplifique.

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Etapa 4.15.1

Avalie $t$ em $\frac{π}{2}$ e em $- \frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

Etapa 4.15.2

Avalie $\sin (u_{2})$ em $π$ e em $- π$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Etapa 4.15.3

Simplifique.

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Etapa 4.15.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} (\frac{π + π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Etapa 4.15.3.2

Some $π$ e $π$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Etapa 4.15.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.15.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Etapa 4.15.3.3.2

Divida $π$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (- π)))$

Etapa 4.16

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.16.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.16.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.16.1.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (0) - \sin (- π)))$

Etapa 4.16.1.1.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (- π)))$

Etapa 4.16.1.1.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (0)))$

Etapa 4.16.1.1.4

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - 0))$

Etapa 4.16.1.1.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 + 0))$

Etapa 4.16.1.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} \cdot 0)$

Etapa 4.16.1.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (π + 0)$

Etapa 4.16.2

Some $π$ e $0$ .

$\frac{1}{2} π$

Etapa 4.16.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $π$ .

$\frac{π}{2}$

Etapa 5