Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{20 x - x^{2} - 19}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} 20 x - x^{2} - 19}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} 20 x - x^{2} - 19}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} 20 x - x^{2} - 19}$

Etapa 1.2.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 20 x - x^{2} - 19}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 20 x - lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 19}$

Etapa 1.3.2

Mova o termo $20$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{20 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 19}$

Etapa 1.3.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{20 lim_{x \to 1} x - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 19}$

Etapa 1.3.4

Avalie o limite de $19$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{20 lim_{x \to 1} x - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 19}$

Etapa 1.3.5

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{20 \cdot 1 - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 19}$

Etapa 1.3.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{20 \cdot 1 - 1^{2} - 1 \cdot 19}$

Etapa 1.3.6

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.1.1

Multiplique $20$ por $1$ .

$\frac{0}{20 - 1^{2} - 1 \cdot 19}$

Etapa 1.3.6.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{0}{20 - 1 \cdot 1 - 1 \cdot 19}$

Etapa 1.3.6.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{20 - 1 - 1 \cdot 19}$

Etapa 1.3.6.1.4

Multiplique $- 1$ por $19$ .

$\frac{0}{20 - 1 - 19}$

Etapa 1.3.6.2

Subtraia $1$ de $20$ .

$\frac{0}{19 - 19}$

Etapa 1.3.6.3

Subtraia $19$ de $19$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.6.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{20 x - x^{2} - 19} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [20 x - x^{2} - 19]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [20 x - x^{2} - 19]}$

Etapa 3.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [20 x - x^{2} - 19]}$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $20 x - x^{2} - 19$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 19]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 19]}$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [20 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Como $20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $20 x$ em relação a $x$ é $20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 19]}$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 19]}$

Etapa 3.4.3

Multiplique $20$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 19]}$

Etapa 3.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 19]}$

Etapa 3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 19]}$

Etapa 3.5.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 - 2 x + \frac{d}{d x} [- 19]}$

Etapa 3.6

Como $- 19$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 19$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 - 2 x + 0}$

Etapa 3.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Some $20 - 2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 - 2 x}$

Etapa 3.7.2

Reordene os termos.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{- 2 x + 20}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{- 2 x + 20}$

Etapa 5

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{- 2 x + 20}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x (- 2 x + 20)}$

Etapa 6

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x (- 2 x + 20)}$

Etapa 7

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x (- 2 x + 20)}$

Etapa 8

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} - 2 x + 20}$

Etapa 9

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot (- lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 20)}$

Etapa 10

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot (- 2 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 20)}$

Etapa 11

Avalie o limite de $20$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot (- 2 lim_{x \to 1} x + 20)}$

Etapa 12

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1}{1 \cdot (- 2 lim_{x \to 1} x + 20)}$

Etapa 12.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1}{1 \cdot (- 2 \cdot 1 + 20)}$

Etapa 13

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{1 \cdot (- 2 \cdot 1 + 20)}$

Etapa 13.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{- 2 \cdot 1 + 20}$

Etapa 13.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{1}{- 2 + 20}$

Etapa 13.2.2

Some $- 2$ e $20$ .

$\frac{1}{18}$