Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} - 4}{x^{2} - 1}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} 4^{x} - 4}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 4^{x} - lim_{x \to 1} 4}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Etapa 1.2.1.2

Mova o limite para o expoente.

$\frac{4^{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 4}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Etapa 1.2.1.3

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{4^{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{4^{1} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.3.1.1

Avalie o expoente.

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Etapa 1.2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Etapa 1.2.3.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Etapa 1.3.1.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Etapa 1.3.1.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.3.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Etapa 1.3.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} - 4}{x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4^{x} - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4^{x} - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4^{x} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $4$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} \ln (4) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3.4

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} \ln (4) + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3.5

Some $4^{x} \ln (4)$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} \ln (4)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} \ln (4)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} \ln (4)}{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.8

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} \ln (4)}{2 x + 0}$

Etapa 3.9

Some $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} \ln (4)}{2 x}$

Etapa 4

Mova o termo $\frac{\ln (4)}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\ln (4)}{2} lim_{x \to 1} \frac{4^{x}}{x}$

Etapa 5

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{\ln (4)}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 4^{x}}{lim_{x \to 1} x}$

Etapa 6

Mova o limite para o expoente.

$\frac{\ln (4)}{2} \cdot \frac{4^{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x}$

Etapa 7

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{\ln (4)}{2} \cdot \frac{4^{1}}{lim_{x \to 1} x}$

Etapa 7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{\ln (4)}{2} \cdot \frac{4^{1}}{1}$

Etapa 8

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.1

Combine.

$\frac{\ln (4) \cdot 4^{1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.2

Avalie o expoente.

$\frac{\ln (4) \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\ln (4) \cdot 4}{2}$

Etapa 8.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 8.4.1

Fatore $2$ de $\ln (4) \cdot 4$ .

$\frac{2 (\ln (4) \cdot 2)}{2}$

Etapa 8.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (\ln (4) \cdot 2)}{2 (1)}$

Etapa 8.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (\ln (4) \cdot 2)}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (4) \cdot 2}{1}$

Etapa 8.4.2.4

Divida $\ln (4) \cdot 2$ por $1$ .

$\ln (4) \cdot 2$

Etapa 8.5

Mova $2$ para a esquerda de $\ln (4)$ .

$2 \ln (4)$