Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{\sin (6 x)}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

Etapa 1.2.1.2

Mova o limite para o expoente.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

Etapa 1.2.1.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.3.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

Etapa 1.2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

Etapa 1.2.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.3.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 6 x)}$

Etapa 1.3.1.2

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{\sin (6 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{\sin (6 \cdot 0)}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.3.1

Multiplique $6$ por $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Etapa 1.3.3.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{\sin (6 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]}$

Etapa 3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]}$

Etapa 3.5

Some $e^{x}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]}$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

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Etapa 3.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [6 x]}$

Etapa 3.6.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\cos (u) \frac{d}{d x} [6 x]}$

Etapa 3.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]}$

Etapa 3.7

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\cos (6 x) (6 \cdot 1)}$

Etapa 3.9

Multiplique $6$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\cos (6 x) \cdot 6}$

Etapa 3.10

Mova $6$ para a esquerda de $\cos (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{6 \cdot \cos (6 x)}$

Etapa 3.11

Multiplique $6$ por $\cos (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{6 \cos (6 x)}$

Etapa 4

Mova o termo $\frac{1}{6}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\cos (6 x)}$

Etapa 5

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} \cos (6 x)}$

Etapa 6

Mova o limite para o expoente.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \cos (6 x)}$

Etapa 7

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x}}{\cos (lim_{x \to 0} 6 x)}$

Etapa 8

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x}}{\cos (6 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 9

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 9.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{e^{0}}{\cos (6 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 9.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{e^{0}}{\cos (6 \cdot 0)}$

Etapa 10

Simplifique a resposta.

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Etapa 10.1

Combine.

$\frac{1 e^{0}}{6 \cos (6 \cdot 0)}$

Etapa 10.2

Multiplique $e^{0}$ por $1$ .

$\frac{e^{0}}{6 \cos (6 \cdot 0)}$

Etapa 10.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 10.3.1

Multiplique $6$ por $0$ .

$\frac{e^{0}}{6 \cos (0)}$

Etapa 10.3.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{e^{0}}{6 \cdot 1}$

Etapa 10.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1}{6 \cdot 1}$

Etapa 10.5

Multiplique $6$ por $1$ .

$\frac{1}{6}$