Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} + 8 x + 1} - x$

Etapa 1

Multiplique para racionalizar o numerador.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^{2} + 8 x + 1} - x) (\sqrt{x^{2} + 8 x + 1} + x)}{\sqrt{x^{2} + 8 x + 1} + x}$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Expanda o numerador usando o método FOIL.

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x^{2} + 8 x + 1}}^{2} + \sqrt{x^{2} + 8 x + 1} x + \sqrt{x^{2} + 8 x + 1} (- x) - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 8 x + 1} + x}$

Etapa 2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x + 1 + 0}{\sqrt{x^{2} + 8 x + 1} + x}$

Etapa 2.2.2

Some $8 x + 1$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 8 x + 1} + x}$

Etapa 3

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{8 x}{x} + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{8 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.1.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{8 x}{x} + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{8 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Etapa 4.1.2

Divida $8$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{8 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Etapa 4.2

Simplifique os termos.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{8 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

Etapa 4.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{8 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

Etapa 4.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{8 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

Etapa 4.2.2.2

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

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Etapa 4.2.2.2.1

Fatore $x$ de $8 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{x \cdot 8}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

Etapa 4.2.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.2.2.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{x \cdot 8}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

Etapa 4.2.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{x \cdot 8}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

Etapa 4.2.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{8}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

Etapa 4.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{8}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

Etapa 4.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{8}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

Etapa 4.5

Avalie o limite de $8$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{8 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{8}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

Etapa 5

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{8 + 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{8}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

Etapa 6

Avalie o limite.

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Etapa 6.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{8 + 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{8}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 6.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{8 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{8}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 6.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{8 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{8}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 6.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{8 + 0}{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{8}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 6.5

Mova o termo $8$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{8 + 0}{\sqrt{1 + 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 7

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{8 + 0}{\sqrt{1 + 8 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 8

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{8 + 0}{\sqrt{1 + 8 \cdot 0 + 0} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 9

Avalie o limite.

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Etapa 9.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{8 + 0}{\sqrt{1 + 8 \cdot 0 + 0} + 1}$

Etapa 9.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.2.1

Some $8$ e $0$ .

$\frac{8}{\sqrt{1 + 8 \cdot 0 + 0} + 1}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.2.2.1

Multiplique $8$ por $0$ .

$\frac{8}{\sqrt{1 + 0 + 0} + 1}$

Etapa 9.2.2.2

Some $1 + 0$ e $0$ .

$\frac{8}{\sqrt{1 + 0} + 1}$

Etapa 9.2.2.3

Some $1$ e $0$ .

$\frac{8}{\sqrt{1} + 1}$

Etapa 9.2.2.4

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{8}{1 + 1}$

Etapa 9.2.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{8}{2}$

Etapa 9.2.3

Divida $8$ por $2$ .

$4$