Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} + 5 x^{2} - 10 x + 15$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 5 x^{2} - 10 x + 15$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} + 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $5$ .

$3 x^{2} + 10 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10 x$ em relação a $x$ é $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 10 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} + 10 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 10$ por $1$ .

$3 x^{2} + 10 x - 10 + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.4.1

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} + 10 x - 10 + 0$

Etapa 1.4.2

Some $3 x^{2} + 10 x - 10$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 10 x - 10$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} + 10 x - 10$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $10$ por $1$ .

$6 x + 10 + \frac{d}{d x} [- 10]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 x + 10 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $6 x + 10$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 10$

Etapa 3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x + 10$ .

$6 x + 10$