Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} e^{2 x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{2 x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$x^{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$x^{2} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$x^{2} (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Reordene os termos.

$2 e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x$

Etapa 1.4.2

Reordene os fatores em $2 e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{2 x}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2} e^{2 x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2} e^{2 x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{2 x}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{2 x}$ .

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{2 x}]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x$ .

$2 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{2 x}]$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$2 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{2 x}]$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$2 (x^{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{2 x}]$

Etapa 2.2.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x^{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{2 x}]$

Etapa 2.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (x^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{2 x}]$

Etapa 2.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (x^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x e^{2 x}]$

Etapa 2.2.7

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 (x^{2} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x e^{2 x}]$

Etapa 2.2.8

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$2 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x e^{2 x}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x e^{2 x}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x e^{2 x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x e^{2 x}]$ .

$2 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} [x e^{2 x}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{2 x}$ .

$2 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 2 (x \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x$ .

$2 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 2 (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$2 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 2 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$2 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 2 (x (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 2 (x (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 2 (x (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 2 (x (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \cdot 1)$

Etapa 2.3.7

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 2 (x (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1)$

Etapa 2.3.8

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$2 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 2 (x (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} \cdot 1)$

Etapa 2.3.9

Multiplique $e^{2 x}$ por $1$ .

$2 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 2 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x})$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x^{2} (2 e^{2 x})) + 2 (e^{2 x} (2 x)) + 2 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x})$

Etapa 2.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x^{2} (2 e^{2 x})) + 2 (e^{2 x} (2 x)) + 2 (x (2 e^{2 x})) + 2 e^{2 x}$

Etapa 2.4.3

Combine os termos.

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Etapa 2.4.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 (x^{2} (e^{2 x})) + 2 (e^{2 x} (2 x)) + 2 (x (2 e^{2 x})) + 2 e^{2 x}$

Etapa 2.4.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x^{2} e^{2 x} + 4 (e^{2 x} (x)) + 2 (x (2 e^{2 x})) + 2 e^{2 x}$

Etapa 2.4.3.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x^{2} e^{2 x} + 4 e^{2 x} x + 4 (x (e^{2 x})) + 2 e^{2 x}$

Etapa 2.4.3.4

Some $4 e^{2 x} x$ e $4 x e^{2 x}$ .

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Etapa 2.4.3.4.1

Mova $e^{2 x}$ .

$4 x^{2} e^{2 x} + 4 x e^{2 x} + 4 x e^{2 x} + 2 e^{2 x}$

Etapa 2.4.3.4.2

Some $4 x e^{2 x}$ e $4 x e^{2 x}$ .

$4 x^{2} e^{2 x} + 8 x e^{2 x} + 2 e^{2 x}$

Etapa 2.4.4

Reordene os termos.

$4 e^{2 x} x^{2} + 8 e^{2 x} x + 2 e^{2 x}$

Etapa 2.4.5

Reordene os fatores em $4 e^{2 x} x^{2} + 8 e^{2 x} x + 2 e^{2 x}$ .

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{2 x} + 8 x e^{2 x} + 2 e^{2 x}$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{2} e^{2 x} + 8 x e^{2 x} + 2 e^{2 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [8 x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [8 x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{2 x}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2} e^{2 x}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [8 x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{2 x}$ .

$4 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [8 x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x$ .

$4 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [8 x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Etapa 3.2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$4 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [8 x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Etapa 3.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$4 (x^{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [8 x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Etapa 3.2.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (x^{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [8 x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Etapa 3.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 (x^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [8 x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Etapa 3.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 (x^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [8 x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Etapa 3.2.7

Multiplique $2$ por $1$ .

$4 (x^{2} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [8 x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Etapa 3.2.8

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [8 x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x e^{2 x}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x e^{2 x}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x e^{2 x}]$ .

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 \frac{d}{d x} [x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{2 x}$ .

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x$ .

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Etapa 3.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Etapa 3.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Etapa 3.3.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Etapa 3.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Etapa 3.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Etapa 3.3.7

Multiplique $2$ por $1$ .

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Etapa 3.3.8

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Etapa 3.3.9

Multiplique $e^{2 x}$ por $1$ .

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 e^{2 x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $2 x$ .

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 2 (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 3.4.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ é $a^{u_{3}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 2 (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 3.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $2 x$ .

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 3.4.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 3.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 2 (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Etapa 3.4.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 2 (e^{2 x} \cdot 2)$

Etapa 3.4.6

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 2 (2 \cdot e^{2 x})$

Etapa 3.4.7

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 4 e^{2 x}$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (x^{2} (2 e^{2 x})) + 4 (e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 4 e^{2 x}$

Etapa 3.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (x^{2} (2 e^{2 x})) + 4 (e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (2 e^{2 x})) + 8 e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

Etapa 3.5.3

Combine os termos.

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Etapa 3.5.3.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$8 (x^{2} (e^{2 x})) + 4 (e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (2 e^{2 x})) + 8 e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

Etapa 3.5.3.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$8 x^{2} e^{2 x} + 8 (e^{2 x} (x)) + 8 (x (2 e^{2 x})) + 8 e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

Etapa 3.5.3.3

Multiplique $2$ por $8$ .

$8 x^{2} e^{2 x} + 8 e^{2 x} x + 16 (x (e^{2 x})) + 8 e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

Etapa 3.5.3.4

Some $8 e^{2 x} x$ e $16 x e^{2 x}$ .

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Etapa 3.5.3.4.1

Mova $e^{2 x}$ .

$8 x^{2} e^{2 x} + 8 x e^{2 x} + 16 x e^{2 x} + 8 e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

Etapa 3.5.3.4.2

Some $8 x e^{2 x}$ e $16 x e^{2 x}$ .

$8 x^{2} e^{2 x} + 24 x e^{2 x} + 8 e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

Etapa 3.5.3.5

Some $8 e^{2 x}$ e $4 e^{2 x}$ .

$8 x^{2} e^{2 x} + 24 x e^{2 x} + 12 e^{2 x}$

Etapa 3.5.4

Reordene os termos.

$8 e^{2 x} x^{2} + 24 e^{2 x} x + 12 e^{2 x}$

Etapa 3.5.5

Reordene os fatores em $8 e^{2 x} x^{2} + 24 e^{2 x} x + 12 e^{2 x}$ .

$f''' (x) = 8 x^{2} e^{2 x} + 24 x e^{2 x} + 12 e^{2 x}$

Etapa 4

A terceira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $8 x^{2} e^{2 x} + 24 x e^{2 x} + 12 e^{2 x}$ .

$8 x^{2} e^{2 x} + 24 x e^{2 x} + 12 e^{2 x}$