Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{2} - x^{3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} - x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 x - (3 x^{2})$

Etapa 1.3.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$4 x - 3 x^{2}$

Etapa 1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 4 x$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 3 x^{2} + 4 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$- 6 x + \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 6 x + 4 \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 4$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 6 x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$- 6 + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 6 + 0$

Etapa 3.3.2

Some $- 6$ e $0$ .

$f''' (x) = - 6$

Etapa 4

A terceira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 6$ .

$- 6$