Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{3 x^{2} + 5 x - 4}{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 3 x^{2} + 5 x - 4$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x - 4] - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} + 5 x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{x (6 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2.5

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (6 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x (6 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2.7

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{x (6 x + 5 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2.8

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x (6 x + 5 + 0) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2.9

Some $6 x + 5$ e $0$ .

$\frac{x (6 x + 5) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x (6 x + 5) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.2.11

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x (6 x + 5) - (3 x^{2} + 5 x - 4)}{x^{2}}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (6 x) + x \cdot 5 - (3 x^{2} + 5 x - 4)}{x^{2}}$

Etapa 1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (6 x) + x \cdot 5 - (3 x^{2}) - (5 x) - - 4}{x^{2}}$

Etapa 1.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{6 x \cdot x + x \cdot 5 - (3 x^{2}) - (5 x) - - 4}{x^{2}}$

Etapa 1.3.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.3.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{6 (x \cdot x) + x \cdot 5 - (3 x^{2}) - (5 x) - - 4}{x^{2}}$

Etapa 1.3.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{6 x^{2} + x \cdot 5 - (3 x^{2}) - (5 x) - - 4}{x^{2}}$

Etapa 1.3.3.1.3

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{6 x^{2} + 5 \cdot x - (3 x^{2}) - (5 x) - - 4}{x^{2}}$

Etapa 1.3.3.1.4

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} + 5 x - 3 x^{2} - (5 x) - - 4}{x^{2}}$

Etapa 1.3.3.1.5

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} + 5 x - 3 x^{2} - 5 x - - 4}{x^{2}}$

Etapa 1.3.3.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{6 x^{2} + 5 x - 3 x^{2} - 5 x + 4}{x^{2}}$

Etapa 1.3.3.2

Combine os termos opostos em $6 x^{2} + 5 x - 3 x^{2} - 5 x + 4$ .

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Etapa 1.3.3.2.1

Subtraia $5 x$ de $5 x$ .

$\frac{6 x^{2} - 3 x^{2} + 0 + 4}{x^{2}}$

Etapa 1.3.3.2.2

Some $6 x^{2} - 3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{6 x^{2} - 3 x^{2} + 4}{x^{2}}$

Etapa 1.3.3.3

Subtraia $3 x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 4}{x^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 4] - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 4] - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 4] - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.2.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.2.5

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{x^{2} (6 x + \frac{d}{d x} [4]) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.2.6

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{2} (6 x + 0) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.2.7

Some $6 x$ e $0$ .

$\frac{x^{2} (6 x) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1

Mova $x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} \cdot 6 - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 2.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{1} x^{2} \cdot 6 - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{1 + 2} \cdot 6 - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.3.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{x^{3} \cdot 6 - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.4

Mova $6$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$\frac{6 \cdot x^{3} - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{6 x^{3} - (3 x^{2} + 4) (2 x)}{x^{4}}$

Etapa 2.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 (3 x^{2} + 4) x}{x^{4}}$

Etapa 2.7

Simplifique.

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Etapa 2.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 x^{3} + (- 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 4) x}{x^{4}}$

Etapa 2.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 x^{3} - 2 (3 x^{2}) x - 2 \cdot 4 x}{x^{4}}$

Etapa 2.7.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.7.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.7.3.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.7.3.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 (3 (x \cdot x^{2})) - 2 \cdot 4 x}{x^{4}}$

Etapa 2.7.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 2.7.3.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 (3 (x^{1} x^{2})) - 2 \cdot 4 x}{x^{4}}$

Etapa 2.7.3.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{6 x^{3} - 2 (3 x^{1 + 2}) - 2 \cdot 4 x}{x^{4}}$

Etapa 2.7.3.1.1.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 (3 x^{3}) - 2 \cdot 4 x}{x^{4}}$

Etapa 2.7.3.1.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$\frac{6 x^{3} - 6 x^{3} - 2 \cdot 4 x}{x^{4}}$

Etapa 2.7.3.1.3

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$\frac{6 x^{3} - 6 x^{3} - 8 x}{x^{4}}$

Etapa 2.7.3.2

Subtraia $6 x^{3}$ de $6 x^{3}$ .

$\frac{0 - 8 x}{x^{4}}$

Etapa 2.7.3.3

Subtraia $8 x$ de $0$ .

$\frac{- 8 x}{x^{4}}$

Etapa 2.7.4

Combine os termos.

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Etapa 2.7.4.1

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{4}$ .

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Etapa 2.7.4.1.1

Fatore $x$ de $- 8 x$ .

$\frac{x \cdot - 8}{x^{4}}$

Etapa 2.7.4.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.7.4.1.2.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x \cdot - 8}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 2.7.4.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x \cdot - 8}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 2.7.4.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 8}{x^{3}}$

Etapa 2.7.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{8}{x^{3}}$

Etapa 3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{8}{x^{3}}$ .

$- \frac{8}{x^{3}}$