Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{2 x}{1 + x^{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x}{1 + x^{2}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{1 + x^{2}})$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 1 + x^{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}})$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(1 + x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}})$

Etapa 1.3.2

Multiplique $1 + x^{2}$ por $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}})$

Etapa 1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1 + x^{2} - x (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{2}})$

Etapa 1.3.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1 + x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{2}})$

Etapa 1.3.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}})$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1 + x^{2} - x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{2}})$

Etapa 1.3.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1 + x^{2} - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}})$

Etapa 1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1 + x^{2} - 2 (x \cdot x)}{{(1 + x^{2})}^{2}})$

Etapa 1.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1 + x^{2} - 2 (x \cdot x)}{{(1 + x^{2})}^{2}})$

Etapa 1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = 2 (\frac{1 + x^{2} - 2 x^{1 + 1}}{{(1 + x^{2})}^{2}})$

Etapa 1.7

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1 + x^{2} - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}})$

Etapa 1.8

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}})$

Etapa 1.9

Combine $2$ e $\frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.10

Simplifique.

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Etapa 1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 \cdot 1 + 2 (- x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.10.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.10.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 + 2 (- x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.10.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{2 - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.10.3

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 2) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 2) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 2) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 x^{2} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2)) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (2)) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.5

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x + \frac{d}{d x} (2)) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.6

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x + 0) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.7

Some $- 4 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.4

Diferencie.

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Etapa 2.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} + 2) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} + 2) ((x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} + 2) ((x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.4.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} + 2) ((x^{2} + 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.4.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.4.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} + 2) ((x^{2} + 1) (2 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.4.5.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} + 2) (2 \cdot ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.4.5.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - 4 (- 2 x^{2} + 2) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.2

Reescreva ${(x^{2} + 1)}^{2}$ como $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.3

Expanda $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.5.3.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.5.3.1.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.3.1.4.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.5.3.1.4.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.4.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.4.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.4.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.4.1.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.4.2

Some $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{(- 4 x^{4} - 4 (2 x^{2}) - 4 \cdot 1) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.6

Simplifique.

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Etapa 2.5.3.1.6.1

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{(- 4 x^{4} - 8 x^{2} - 4 \cdot 1) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.6.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 4 x^{4} - 8 x^{2} - 4) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{4} x - 8 x^{2} x - 4 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.8

Simplifique.

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Etapa 2.5.3.1.8.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.8.1.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x \cdot x^{4}) - 8 x^{2} x - 4 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.8.1.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

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Etapa 2.5.3.1.8.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x \cdot x^{4}) - 8 x^{2} x - 4 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.8.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{1 + 4} - 8 x^{2} x - 4 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.8.1.3

Some $1$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{2} x - 4 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.8.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.8.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 (x \cdot x^{2}) - 4 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.8.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.8.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 (x \cdot x^{2}) - 4 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.8.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{1 + 2} - 4 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.8.2.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.9

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.9.1

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + (8 x^{2} - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.9.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + (8 x^{2} - 8) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.10

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.10.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.10.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.10.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + (8 x^{2} - 8) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.10.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + (8 x^{2} - 8) (x^{2 + 1} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.10.1.2

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + (8 x^{2} - 8) (x^{3} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.10.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + (8 x^{2} - 8) (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.11

Expanda $(8 x^{2} - 8) (x^{3} + x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{2} (x^{3} + x) - 8 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 x^{2} x - 8 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.11.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 x^{2} x - 8 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.12

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.5.3.1.12.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.3.1.12.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.5.3.1.12.1.1.1

Mova $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 (x^{3} x^{2}) + 8 x^{2} x - 8 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.12.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{3 + 2} + 8 x^{2} x - 8 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.12.1.1.3

Some $3$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{5} + 8 x^{2} x - 8 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.12.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.5.3.1.12.1.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{5} + 8 (x \cdot x^{2}) - 8 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.12.1.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 2.5.3.1.12.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{5} + 8 (x \cdot x^{2}) - 8 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.12.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{5} + 8 x^{1 + 2} - 8 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.12.1.2.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{5} + 8 x^{3} - 8 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.12.2

Subtraia $8 x^{3}$ de $8 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{5} + 0 - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.12.3

Some $8 x^{5}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{5} - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.2

Some $- 4 x^{5}$ e $8 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.3

Subtraia $8 x$ de $- 4 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} - 8 x^{3} - 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.4.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{5} - 8 x^{3} - 12 x$ .

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Etapa 2.5.4.1.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4}) - 8 x^{3} - 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.4.1.2

Fatore $4 x$ de $- 8 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4}) + 4 x (- 2 x^{2}) - 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.4.1.3

Fatore $4 x$ de $- 12 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4}) + 4 x (- 2 x^{2}) + 4 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.4.1.4

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{4}) + 4 x (- 2 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 4 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.4.1.5

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 4 x (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.4.2

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x ({(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.4.3

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (u^{2} - 2 u - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.4.4

Fatore $u^{2} - 2 u - 3$ usando o método AC.

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Etapa 2.5.4.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 3$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 3, 1$

Etapa 2.5.4.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$f'' (x) = \frac{4 x ((u - 3) (u + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.4.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.5

Cancele o fator comum de $x^{2} + 1$ e ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

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Etapa 2.5.5.1

Fatore $x^{2} + 1$ de $4 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.5.5.2.1

Fatore $x^{2} + 1$ de ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.5.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.5.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{4 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{4 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$