Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{x} + \sqrt[5]{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{x} + \sqrt[5]{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\sqrt{x}) + \frac{d}{d x} (\sqrt[5]{x})$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Etapa 1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (\sqrt[5]{x})$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} (\sqrt[5]{x})$

Etapa 1.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} (\sqrt[5]{x})$

Etapa 1.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} (\sqrt[5]{x})$

Etapa 1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} (\sqrt[5]{x})$

Etapa 1.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} (\sqrt[5]{x})$

Etapa 1.2.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} (\sqrt[5]{x})$

Etapa 1.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} (\sqrt[5]{x})$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x}]$ .

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Etapa 1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[5]{x}$ como $x^{\frac{1}{5}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{5}})$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{5}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}$

Etapa 1.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}$

Etapa 1.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}$

Etapa 1.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}}$

Etapa 1.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}}$

Etapa 1.3.6.2

Subtraia $5$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}}$

Etapa 1.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}}$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}}$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$

Etapa 1.4.3

Combine os termos.

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Etapa 1.4.3.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$

Etapa 1.4.3.2

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Etapa 2.2.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.2.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Etapa 2.2.5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.5.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Etapa 2.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Etapa 2.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Etapa 2.2.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Etapa 2.2.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Etapa 2.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Etapa 2.2.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Etapa 2.2.9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Etapa 2.2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Etapa 2.2.11

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Etapa 2.2.12

Combine $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Etapa 2.2.13

Multiplique $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x^{- 1}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.13.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Etapa 2.2.13.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Etapa 2.2.13.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Etapa 2.2.13.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Etapa 2.2.13.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.13.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Etapa 2.2.13.5.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Etapa 2.2.13.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Etapa 2.2.14

Mova $x^{- \frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Etapa 2.2.15

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2 (2 x^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Etapa 2.2.16

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $\frac{1}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}})$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ como ${(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1})$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{4}{5}}$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{\frac{4}{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{5}}))$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{4}{5}})$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{\frac{4}{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- {(x^{\frac{4}{5}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{4}{5}})$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{4}{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- {(x^{\frac{4}{5}})}^{- 2} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}))$

Etapa 2.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{4}{5}})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- x^{\frac{4}{5} \cdot - 2} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}))$

Etapa 2.3.5.2

Multiplique $\frac{4}{5} \cdot - 2$ .

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Etapa 2.3.5.2.1

Combine $\frac{4}{5}$ e $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- x^{\frac{4 \cdot - 2}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}))$

Etapa 2.3.5.2.2

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- x^{\frac{- 8}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}))$

Etapa 2.3.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- x^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}))$

Etapa 2.3.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- x^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}))$

Etapa 2.3.7

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- x^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}))$

Etapa 2.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- x^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}}))$

Etapa 2.3.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.9.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- x^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}}))$

Etapa 2.3.9.2

Subtraia $5$ de $4$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- x^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}}))$

Etapa 2.3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- x^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}}))$

Etapa 2.3.11

Combine $\frac{4}{5}$ e $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- x^{- \frac{8}{5}} \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5})$

Etapa 2.3.12

Combine $\frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$ e $x^{- \frac{8}{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4 x^{- \frac{1}{5}} x^{- \frac{8}{5}}}{5})$

Etapa 2.3.13

Multiplique $x^{- \frac{1}{5}}$ por $x^{- \frac{8}{5}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.13.1

Mova $x^{- \frac{8}{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4 (x^{- \frac{8}{5}} x^{- \frac{1}{5}})}{5})$

Etapa 2.3.13.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4 x^{- \frac{8}{5} - \frac{1}{5}}}{5})$

Etapa 2.3.13.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4 x^{\frac{- 8 - 1}{5}}}{5})$

Etapa 2.3.13.4

Subtraia $1$ de $- 8$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4 x^{\frac{- 9}{5}}}{5})$

Etapa 2.3.13.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4 x^{- \frac{9}{5}}}{5})$

Etapa 2.3.14

Mova $x^{- \frac{9}{5}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4}{5 x^{\frac{9}{5}}})$

Etapa 2.3.15

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{4}{5 x^{\frac{9}{5}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{4}{5 (5 x^{\frac{9}{5}})}$

Etapa 2.3.16

Multiplique $5$ por $5$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{4}{25 x^{\frac{9}{5}}}$

Etapa 3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{4}{25 x^{\frac{9}{5}}}$ .

$- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{4}{25 x^{\frac{9}{5}}}$