Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x - 3}{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x - 3$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x - 3] - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2.3

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2.4.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x - (x - 3) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.2.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x - (x - 3)}{x^{2}}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x - x - - 3}{x^{2}}$

Etapa 1.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.2.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{0 - - 3}{x^{2}}$

Etapa 1.3.2.2

Subtraia $- 3$ de $0$ .

$\frac{- - 3}{x^{2}}$

Etapa 1.3.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$f' (x) = \frac{3}{x^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3}{x^{2}}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 2.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.2.1

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Etapa 2.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$3 (- 2 x^{- 3})$

Etapa 2.4

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$- 6 x^{- 3}$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 2.5.2

Combine os termos.

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Etapa 2.5.2.1

Combine $- 6$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 6}{x^{3}}$

Etapa 2.5.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{6}{x^{3}}$

Etapa 3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{6}{x^{3}}$ .

$- \frac{6}{x^{3}}$