Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2}}{3 + 8 x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 3 + 8 x$ .

$f' (x) = \frac{(3 + 8 x) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (3 + 8 x)}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(3 + 8 x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (3 + 8 x)}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $3 + 8 x$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((3 + 8 x) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (3 + 8 x)}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 + 8 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 + 8 x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (8 x))}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 + 8 x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} (8 x))}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 + 8 x) x - x^{2} \frac{d}{d x} (8 x)}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.6

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 + 8 x) x - x^{2} (8 \frac{d}{d x} (x))}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.7

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 + 8 x) x - 8 x^{2} \frac{d}{d x} x}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 + 8 x) x - 8 x^{2} \cdot 1}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.9

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 + 8 x) x - 8 x^{2}}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 \cdot 3 + 2 (8 x)) x - 8 x^{2}}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 \cdot (3 x) + 2 (8 x) x - 8 x^{2}}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Etapa 1.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.3.1.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{6 x + 2 (8 x) x - 8 x^{2}}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.3.1.2.1

Mova $x$ .

$f' (x) = \frac{6 x + 2 (8 (x \cdot x)) - 8 x^{2}}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{6 x + 2 (8 x^{2}) - 8 x^{2}}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.1.3

Multiplique $8$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{6 x + 16 x^{2} - 8 x^{2}}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.2

Subtraia $8 x^{2}$ de $16 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{6 x + 8 x^{2}}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Etapa 1.3.4

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{8 x^{2} + 6 x}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.5

Fatore $2 x$ de $8 x^{2} + 6 x$ .

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Etapa 1.3.5.1

Fatore $2 x$ de $8 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 x (4 x) + 6 x}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.5.2

Fatore $2 x$ de $6 x$ .

$f' (x) = \frac{2 x (4 x) + 2 x (3)}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.5.3

Fatore $2 x$ de $2 x (4 x) + 2 x (3)$ .

$f' (x) = \frac{2 x (4 x + 3)}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x (4 x + 3)}{{(8 x + 3)}^{2}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{x (4 x + 3)}{{(8 x + 3)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x (4 x + 3)}{{(8 x + 3)}^{2}})$

Etapa 2.2

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x (4 x + 3)) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{({(8 x + 3)}^{2})}^{2}})$

Etapa 2.3

Multiplique os expoentes em ${({(8 x + 3)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x (4 x + 3)) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{2 \cdot 2}})$

Etapa 2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x (4 x + 3)) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 4 x + 3$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (x \frac{d}{d x} (4 x + 3) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Etapa 2.5

Diferencie.

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Etapa 2.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (x (\frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (3)) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Etapa 2.5.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (x (4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Etapa 2.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (x (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3)) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Etapa 2.5.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (x (4 + \frac{d}{d x} (3)) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Etapa 2.5.5

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (x (4 + 0) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Etapa 2.5.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.5.6.1

Some $4$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (x \cdot 4 + (4 x + 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Etapa 2.5.6.2

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (4 \cdot x + (4 x + 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Etapa 2.5.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (4 x + (4 x + 3) \cdot 1) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Etapa 2.5.8

Simplifique somando os termos.

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Etapa 2.5.8.1

Multiplique $4 x + 3$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (4 x + 4 x + 3) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Etapa 2.5.8.2

Some $4 x$ e $4 x$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (8 x + 3) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Etapa 2.6

Multiplique ${(8 x + 3)}^{2}$ por $8 x + 3$ somando os expoentes.

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Etapa 2.6.1

Multiplique ${(8 x + 3)}^{2}$ por $8 x + 3$ .

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Etapa 2.6.1.1

Eleve $8 x + 3$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (8 x + 3) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Etapa 2.6.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2 + 1} - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Etapa 2.6.2

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{3} - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 8 x + 3$ .

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Etapa 2.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $8 x + 3$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{3} - x (4 x + 3) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (8 x + 3))}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Etapa 2.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{3} - x (4 x + 3) (2 u \frac{d}{d x} (8 x + 3))}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Etapa 2.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $8 x + 3$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{3} - x (4 x + 3) (2 (8 x + 3) \frac{d}{d x} (8 x + 3))}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Etapa 2.8

Simplifique com fatoração.

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Etapa 2.8.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{3} - 2 x (4 x + 3) ((8 x + 3) \frac{d}{d x} (8 x + 3))}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Etapa 2.8.2

Fatore $8 x + 3$ de ${(8 x + 3)}^{3} - 2 x (4 x + 3) ((8 x + 3) \frac{d}{d x} [8 x + 3])$ .

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Etapa 2.8.2.1

Fatore $8 x + 3$ de ${(8 x + 3)}^{3}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(8 x + 3) {(8 x + 3)}^{2} - 2 x (4 x + 3) ((8 x + 3) \frac{d}{d x} (8 x + 3))}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Etapa 2.8.2.2

Fatore $8 x + 3$ de $- 2 x (4 x + 3) ((8 x + 3) \frac{d}{d x} [8 x + 3])$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(8 x + 3) {(8 x + 3)}^{2} + (8 x + 3) (- 2 x (4 x + 3) (\frac{d}{d x} (8 x + 3)))}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Etapa 2.8.2.3

Fatore $8 x + 3$ de $(8 x + 3) {(8 x + 3)}^{2} + (8 x + 3) (- 2 x (4 x + 3) (\frac{d}{d x} [8 x + 3]))$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(8 x + 3) ({(8 x + 3)}^{2} - 2 x (4 x + 3) (\frac{d}{d x} (8 x + 3)))}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Etapa 2.9

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.9.1

Fatore $8 x + 3$ de ${(8 x + 3)}^{4}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(8 x + 3) ({(8 x + 3)}^{2} - 2 x (4 x + 3) (\frac{d}{d x} (8 x + 3)))}{(8 x + 3) {(8 x + 3)}^{3}})$

Etapa 2.9.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = 2 (\frac{(8 x + 3) ({(8 x + 3)}^{2} - 2 x (4 x + 3) (\frac{d}{d x} (8 x + 3)))}{(8 x + 3) {(8 x + 3)}^{3}})$

Etapa 2.9.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} - 2 x (4 x + 3) (\frac{d}{d x} (8 x + 3))}{{(8 x + 3)}^{3}})$

Etapa 2.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} - 2 x (4 x + 3) (\frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (3))}{{(8 x + 3)}^{3}})$

Etapa 2.11

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} - 2 x (4 x + 3) (8 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))}{{(8 x + 3)}^{3}})$

Etapa 2.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} - 2 x (4 x + 3) (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3))}{{(8 x + 3)}^{3}})$

Etapa 2.13

Multiplique $8$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} - 2 x (4 x + 3) (8 + \frac{d}{d x} (3))}{{(8 x + 3)}^{3}})$

Etapa 2.14

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} - 2 x (4 x + 3) (8 + 0)}{{(8 x + 3)}^{3}})$

Etapa 2.15

Combine frações.

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Etapa 2.15.1

Some $8$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} - 2 x (4 x + 3) \cdot 8}{{(8 x + 3)}^{3}})$

Etapa 2.15.2

Multiplique $8$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} - 16 x (4 x + 3)}{{(8 x + 3)}^{3}})$

Etapa 2.15.3

Combine $2$ e $\frac{{(8 x + 3)}^{2} - 16 x (4 x + 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 ({(8 x + 3)}^{2} - 16 x (4 x + 3))}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Etapa 2.16

Simplifique.

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Etapa 2.16.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 ({(8 x + 3)}^{2} - 16 x (4 x) - 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Etapa 2.16.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 {(8 x + 3)}^{2} + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Etapa 2.16.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.16.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.16.3.1.1

Reescreva ${(8 x + 3)}^{2}$ como $(8 x + 3) (8 x + 3)$ .

$f'' (x) = \frac{2 ((8 x + 3) (8 x + 3)) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Etapa 2.16.3.1.2

Expanda $(8 x + 3) (8 x + 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.16.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (8 x (8 x + 3) + 3 (8 x + 3)) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Etapa 2.16.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (8 x (8 x) + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x + 3)) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Etapa 2.16.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (8 x (8 x) + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x) + 3 \cdot 3) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Etapa 2.16.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.16.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.16.3.1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{2 (8 \cdot (8 x \cdot x) + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x) + 3 \cdot 3) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Etapa 2.16.3.1.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.16.3.1.3.1.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (8 \cdot (8 (x \cdot x)) + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x) + 3 \cdot 3) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Etapa 2.16.3.1.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (8 \cdot (8 x^{2}) + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x) + 3 \cdot 3) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Etapa 2.16.3.1.3.1.3

Multiplique $8$ por $8$ .

$f'' (x) = \frac{2 (64 x^{2} + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x) + 3 \cdot 3) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Etapa 2.16.3.1.3.1.4

Multiplique $3$ por $8$ .

$f'' (x) = \frac{2 (64 x^{2} + 24 x + 3 (8 x) + 3 \cdot 3) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Etapa 2.16.3.1.3.1.5

Multiplique $8$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{2 (64 x^{2} + 24 x + 24 x + 3 \cdot 3) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Etapa 2.16.3.1.3.1.6

Multiplique $3$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{2 (64 x^{2} + 24 x + 24 x + 9) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Etapa 2.16.3.1.3.2

Some $24 x$ e $24 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (64 x^{2} + 48 x + 9) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Etapa 2.16.3.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (64 x^{2}) + 2 (48 x) + 2 \cdot 9 + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Etapa 2.16.3.1.5

Simplifique.

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Etapa 2.16.3.1.5.1

Multiplique $64$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{128 x^{2} + 2 (48 x) + 2 \cdot 9 + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Etapa 2.16.3.1.5.2

Multiplique $48$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{128 x^{2} + 96 x + 2 \cdot 9 + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Etapa 2.16.3.1.5.3

Multiplique $2$ por $9$ .

$f'' (x) = \frac{128 x^{2} + 96 x + 18 + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Etapa 2.16.3.1.6

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.16.3.1.6.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{128 x^{2} + 96 x + 18 + 2 (- 16 (x \cdot x) \cdot 4) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Etapa 2.16.3.1.6.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{128 x^{2} + 96 x + 18 + 2 (- 16 x^{2} \cdot 4) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Etapa 2.16.3.1.7

Multiplique $4$ por $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{128 x^{2} + 96 x + 18 + 2 (- 64 x^{2}) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Etapa 2.16.3.1.8

Multiplique $- 64$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{128 x^{2} + 96 x + 18 - 128 x^{2} + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Etapa 2.16.3.1.9

Multiplique $3$ por $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{128 x^{2} + 96 x + 18 - 128 x^{2} + 2 (- 48 x)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Etapa 2.16.3.1.10

Multiplique $- 48$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{128 x^{2} + 96 x + 18 - 128 x^{2} - 96 x}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Etapa 2.16.3.2

Combine os termos opostos em $128 x^{2} + 96 x + 18 - 128 x^{2} - 96 x$ .

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Etapa 2.16.3.2.1

Subtraia $128 x^{2}$ de $128 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{96 x + 18 + 0 - 96 x}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Etapa 2.16.3.2.2

Some $96 x + 18$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{96 x + 18 - 96 x}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Etapa 2.16.3.2.3

Subtraia $96 x$ de $96 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 18}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Etapa 2.16.3.2.4

Some $0$ e $18$ .

$f'' (x) = \frac{18}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Etapa 3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{18}{{(8 x + 3)}^{3}}$ .

$\frac{18}{{(8 x + 3)}^{3}}$