Cálculo Exemplos

$\frac{6}{x^{2} - 16}$

Etapa 1

Escreva $\frac{6}{x^{2} - 16}$ como uma função.

$f (x) = \frac{6}{x^{2} - 16}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{6}{x^{2} - 16}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 16}]$ .

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2} - 16})$

Etapa 2.1.1.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2} - 16}$ como ${(x^{2} - 16)}^{- 1}$ .

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 16)}^{- 1})$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} - 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 16$ .

$f' (x) = 6 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f' (x) = 6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))$

Etapa 2.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 16$ .

$f' (x) = 6 (- {(x^{2} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))$

Etapa 2.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$f' (x) = - 6 ({(x^{2} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))$

Etapa 2.1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f' (x) = - 6 {(x^{2} - 16)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16))$

Etapa 2.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = - 6 {(x^{2} - 16)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 16))$

Etapa 2.1.3.4

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = - 6 {(x^{2} - 16)}^{- 2} (2 x + 0)$

Etapa 2.1.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = - 6 {(x^{2} - 16)}^{- 2} (2 x)$

Etapa 2.1.3.5.2

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$f' (x) = - 12 {(x^{2} - 16)}^{- 2} x$

Etapa 2.1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 12 \frac{1}{{(x^{2} - 16)}^{2}} \cdot x$

Etapa 2.1.5

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1

Combine $- 12$ e $\frac{1}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 12}{{(x^{2} - 16)}^{2}} \cdot x$

Etapa 2.1.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{12}{{(x^{2} - 16)}^{2}} \cdot x$

Etapa 2.1.5.3

Combine $x$ e $\frac{12}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x \cdot 12}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 2.1.5.4

Mova $12$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = - \frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ .

$- \frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}} = 0$

Etapa 3.2

Defina o numerador como igual a zero.

$12 x = 0$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $12 x = 0$ por $12$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $12 x = 0$ por $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{12}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Divida $0$ por $12$ .

$x = 0$

Etapa 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0$ .

$0$

Etapa 5

Encontre onde a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina o denominador em $\frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x^{2} - 16)}^{2} = 0$

Etapa 5.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

${(x^{2} - 4^{2})}^{2} = 0$

Etapa 5.2.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 4$ .

${((x + 4) (x - 4))}^{2} = 0$

Etapa 5.2.1.3

Aplique a regra do produto a $(x + 4) (x - 4)$ .

${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$

Etapa 5.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Etapa 5.2.3

Defina ${(x + 4)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Defina ${(x + 4)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

Etapa 5.2.3.2

Resolva ${(x + 4)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 5.2.3.2.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 5.2.4

Defina ${(x - 4)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Defina ${(x - 4)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Etapa 5.2.4.2

Resolva ${(x - 4)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.2.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 5.2.4.2.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 5.2.5

A solução final são todos os valores que tornam ${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$x = - 4, 4$

Etapa 5.3

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x = - 4, x = 4$

Etapa 6

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 4)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 5$ na expressão.

$f' (- 5) = - \frac{12 (- 5)}{{({(- 5)}^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Multiplique $12$ por $- 5$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 60}{{({(- 5)}^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 60}{{(25 - 16)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.2

Subtraia $16$ de $25$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 60}{9^{2}}$

Etapa 7.2.2.3

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 60}{81}$

Etapa 7.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 60$ e $81$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1.1

Fatore $3$ de $- 60$ .

$f' (- 5) = - \frac{3 (- 20)}{81}$

Etapa 7.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1.2.1

Fatore $3$ de $81$ .

$f' (- 5) = - \frac{3 \cdot - 20}{3 \cdot 27}$

Etapa 7.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f' (- 5) = - \frac{3 \cdot - 20}{3 \cdot 27}$

Etapa 7.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (- 5) = - \frac{- 20}{27}$

Etapa 7.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 5) = \frac{20}{27}$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $\frac{20}{27}$ .

$\frac{20}{27}$

Etapa 7.3

Em $x = - 5$ , a derivada é $\frac{20}{27}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, - 4)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 4)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(- 4, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = - \frac{12 (- 2)}{{({(- 2)}^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Multiplique $12$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 24}{{({(- 2)}^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 24}{{(4 - 16)}^{2}}$

Etapa 8.2.2.2

Subtraia $16$ de $4$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 24}{{(- 12)}^{2}}$

Etapa 8.2.2.3

Eleve $- 12$ à potência de $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 24}{144}$

Etapa 8.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 24$ e $144$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.1.1

Fatore $24$ de $- 24$ .

$f' (- 2) = - \frac{24 (- 1)}{144}$

Etapa 8.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.1.2.1

Fatore $24$ de $144$ .

$f' (- 2) = - \frac{24 \cdot - 1}{24 \cdot 6}$

Etapa 8.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f' (- 2) = - \frac{24 \cdot - 1}{24 \cdot 6}$

Etapa 8.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (- 2) = - \frac{- 1}{6}$

Etapa 8.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 2) = \frac{1}{6}$

Etapa 8.2.4

A resposta final é $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{6}$

Etapa 8.3

Em $x = - 2$ , a derivada é $\frac{1}{6}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 4, 0)$ .

Acréscimo em $(- 4, 0)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 9

Substitua um valor do intervalo $(0, 4)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = - \frac{12 (2)}{{({(2)}^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Multiplique $12$ por $2$ .

$f' (2) = - \frac{24}{{(2^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (2) = - \frac{24}{{(4 - 16)}^{2}}$

Etapa 9.2.2.2

Subtraia $16$ de $4$ .

$f' (2) = - \frac{24}{{(- 12)}^{2}}$

Etapa 9.2.2.3

Eleve $- 12$ à potência de $2$ .

$f' (2) = - \frac{24}{144}$

Etapa 9.2.3

Cancele o fator comum de $24$ e $144$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.1

Fatore $24$ de $24$ .

$f' (2) = - \frac{24 (1)}{144}$

Etapa 9.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.2.1

Fatore $24$ de $144$ .

$f' (2) = - \frac{24 \cdot 1}{24 \cdot 6}$

Etapa 9.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f' (2) = - \frac{24 \cdot 1}{24 \cdot 6}$

Etapa 9.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (2) = - \frac{1}{6}$

Etapa 9.2.4

A resposta final é $- \frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{6}$

Etapa 9.3

Em $x = 2$ , a derivada é $- \frac{1}{6}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, 4)$ .

Decréscimo em $(0, 4)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 10

Substitua um valor do intervalo $(4, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f' (5) = - \frac{12 (5)}{{({(5)}^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 10.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Multiplique $12$ por $5$ .

$f' (5) = - \frac{60}{{(5^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 10.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f' (5) = - \frac{60}{{(25 - 16)}^{2}}$

Etapa 10.2.2.2

Subtraia $16$ de $25$ .

$f' (5) = - \frac{60}{9^{2}}$

Etapa 10.2.2.3

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$f' (5) = - \frac{60}{81}$

Etapa 10.2.3

Cancele o fator comum de $60$ e $81$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.3.1

Fatore $3$ de $60$ .

$f' (5) = - \frac{3 (20)}{81}$

Etapa 10.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.3.2.1

Fatore $3$ de $81$ .

$f' (5) = - \frac{3 \cdot 20}{3 \cdot 27}$

Etapa 10.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f' (5) = - \frac{3 \cdot 20}{3 \cdot 27}$

Etapa 10.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (5) = - \frac{20}{27}$

Etapa 10.2.4

A resposta final é $- \frac{20}{27}$ .

$- \frac{20}{27}$

Etapa 10.3

Em $x = 5$ , a derivada é $- \frac{20}{27}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(4, \infty)$ .

Decréscimo em $(4, \infty)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 11

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, - 4), (- 4, 0)$

Decréscimo em: $(0, 4), (4, \infty)$

Etapa 12