Cálculo Exemplos

$(x - 9) (x^{2} - 18 x - 162)$

Etapa 1

Escreva $(x - 9) (x^{2} - 18 x - 162)$ como uma função.

$f (x) = (x - 9) (x^{2} - 18 x - 162)$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x - 9$ e $g (x) = x^{2} - 18 x - 162$ .

$f' (x) = (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 18 x - 162) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 18 x - 162$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [- 162]$ .

$f' (x) = (x - 9) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (- 162)) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (- 162)) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Etapa 2.1.2.3

Como $- 18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 18 x$ em relação a $x$ é $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 162)) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Etapa 2.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 162)) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Etapa 2.1.2.5

Multiplique $- 18$ por $1$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18 + \frac{d}{d x} (- 162)) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Etapa 2.1.2.6

Como $- 162$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 162$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18 + 0) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Etapa 2.1.2.7

Some $2 x - 18$ e $0$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Etapa 2.1.2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x - 162) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9))$

Etapa 2.1.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x - 162) (1 + \frac{d}{d x} (- 9))$

Etapa 2.1.2.10

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x - 162) (1 + 0)$

Etapa 2.1.2.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.2.11.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x - 162) \cdot 1$

Etapa 2.1.2.11.2

Multiplique $x^{2} - 18 x - 162$ por $1$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + x^{2} - 18 x - 162$

Etapa 2.1.3

Simplifique.

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Etapa 2.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = (x - 9) (2 x) + (x - 9) \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Etapa 2.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = x (2 x) - 9 (2 x) + (x - 9) \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Etapa 2.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = x (2 x) - 9 (2 x) + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Etapa 2.1.3.4

Combine os termos.

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Etapa 2.1.3.4.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 9 (2 x) + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Etapa 2.1.3.4.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 9 (2 x) + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Etapa 2.1.3.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = 2 x^{1 + 1} - 9 (2 x) + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Etapa 2.1.3.4.4

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 9 (2 x) + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Etapa 2.1.3.4.5

Multiplique $2$ por $- 9$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 18 x + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Etapa 2.1.3.4.6

Mova $- 18$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 18 x - 18 \cdot x - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Etapa 2.1.3.4.7

Multiplique $- 9$ por $- 18$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 18 x - 18 x + 162 + x^{2} - 18 x - 162$

Etapa 2.1.3.4.8

Subtraia $18 x$ de $- 18 x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 36 x + 162 + x^{2} - 18 x - 162$

Etapa 2.1.3.4.9

Some $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 36 x + 162 - 18 x - 162$

Etapa 2.1.3.4.10

Subtraia $18 x$ de $- 36 x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 54 x + 162 - 162$

Etapa 2.1.3.4.11

Subtraia $162$ de $162$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 54 x + 0$

Etapa 2.1.3.4.12

Some $3 x^{2} - 54 x$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 54 x$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 54 x$ .

$3 x^{2} - 54 x$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 54 x = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 54 x = 0$

Etapa 3.2

Fatore $3 x$ de $3 x^{2} - 54 x$ .

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Etapa 3.2.1

Fatore $3 x$ de $3 x^{2}$ .

$3 x (x) - 54 x = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore $3 x$ de $- 54 x$ .

$3 x (x) + 3 x (- 18) = 0$

Etapa 3.2.3

Fatore $3 x$ de $3 x (x) + 3 x (- 18)$ .

$3 x (x - 18) = 0$

Etapa 3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 18 = 0$

Etapa 3.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.5

Defina $x - 18$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.5.1

Defina $x - 18$ como igual a $0$ .

$x - 18 = 0$

Etapa 3.5.2

Some $18$ aos dois lados da equação.

$x = 18$

Etapa 3.6

A solução final são todos os valores que tornam $3 x (x - 18) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 18$

Etapa 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0, 18$ .

$0, 18$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 18) \cup (18, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f' (- 1) = 3 {(- 1)}^{2} - 54 \cdot - 1$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- 1) = 3 \cdot 1 - 54 \cdot - 1$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$f' (- 1) = 3 - 54 \cdot - 1$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $- 54$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = 3 + 54$

Etapa 6.2.2

Some $3$ e $54$ .

$f' (- 1) = 57$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $57$ .

$57$

Etapa 6.3

Em $x = - 1$ , a derivada é $57$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, 0)$ .

Acréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, 18)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $9$ na expressão.

$f' (9) = 3 {(9)}^{2} - 54 \cdot 9$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$f' (9) = 3 \cdot 81 - 54 \cdot 9$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $3$ por $81$ .

$f' (9) = 243 - 54 \cdot 9$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- 54$ por $9$ .

$f' (9) = 243 - 486$

Etapa 7.2.2

Subtraia $486$ de $243$ .

$f' (9) = - 243$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 243$ .

$- 243$

Etapa 7.3

Em $x = 9$ , a derivada é $- 243$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, 18)$ .

Decréscimo em $(0, 18)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(18, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $19$ na expressão.

$f' (19) = 3 {(19)}^{2} - 54 \cdot 19$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1.1

Eleve $19$ à potência de $2$ .

$f' (19) = 3 \cdot 361 - 54 \cdot 19$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $3$ por $361$ .

$f' (19) = 1083 - 54 \cdot 19$

Etapa 8.2.1.3

Multiplique $- 54$ por $19$ .

$f' (19) = 1083 - 1026$

Etapa 8.2.2

Subtraia $1026$ de $1083$ .

$f' (19) = 57$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $57$ .

$57$

Etapa 8.3

Em $x = 19$ , a derivada é $57$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(18, \infty)$ .

Acréscimo em $(18, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 9

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, 0), (18, \infty)$

Decréscimo em: $(0, 18)$

Etapa 10