Cálculo Exemplos

$\frac{x - 3}{x + 4}$

Etapa 1

Escreva $\frac{x - 3}{x + 4}$ como uma função.

$f (x) = \frac{x - 3}{x + 4}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x - 3$ e $g (x) = x + 4$ .

$\frac{(x + 4) \frac{d}{d x} [x - 3] - (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.3

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x + 4) (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x + 4) \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4.2

Multiplique $x + 4$ por $1$ .

$\frac{x + 4 - (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{x + 4 - (x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x + 4 - (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.7

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x + 4 - (x - 3) (1 + 0)}{{(x + 4)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.2.8.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x + 4 - (x - 3) \cdot 1}{{(x + 4)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.8.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x + 4 - (x - 3)}{{(x + 4)}^{2}}$

Etapa 2.1.3

Simplifique.

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Etapa 2.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x + 4 - x - - 3}{{(x + 4)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.3.2.1

Combine os termos opostos em $x + 4 - x - - 3$ .

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Etapa 2.1.3.2.1.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{0 + 4 - - 3}{{(x + 4)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.2.1.2

Some $0$ e $4$ .

$\frac{4 - - 3}{{(x + 4)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{4 + 3}{{(x + 4)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.2.3

Some $4$ e $3$ .

$f' (x) = \frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ .

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$

Etapa 3.2

Defina o numerador como igual a zero.

$7 = 0$

Etapa 3.3

Como $7 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 4

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado

Etapa 5

Encontre onde a derivada é indefinida.

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Etapa 5.1

Defina o denominador em $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x + 4)}^{2} = 0$

Etapa 5.2

Resolva $x$ .

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Etapa 5.2.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 5.2.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 6

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = \frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = \frac{x - 3}{x + 4}$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$ .

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 4)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 5$ na expressão.

$f' (- 5) = \frac{7}{{((- 5) + 4)}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.2.1.1

Some $- 5$ e $4$ .

$f' (- 5) = \frac{7}{{(- 1)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- 5) = \frac{7}{1}$

Etapa 7.2.2

Divida $7$ por $1$ .

$f' (- 5) = 7$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $7$ .

$7$

Etapa 7.3

Em $x = - 5$ , a derivada é $7$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, - 4)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 4)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(- 4, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f' (- 3) = \frac{7}{{((- 3) + 4)}^{2}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.2.1.1

Some $- 3$ e $4$ .

$f' (- 3) = \frac{7}{1^{2}}$

Etapa 8.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (- 3) = \frac{7}{1}$

Etapa 8.2.2

Divida $7$ por $1$ .

$f' (- 3) = 7$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $7$ .

$7$

Etapa 8.3

Em $x = - 3$ , a derivada é $7$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 4, \infty)$ .

Acréscimo em $(- 4, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 9

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, - 4), (- 4, \infty)$

Etapa 10