Cálculo Exemplos

$x^{3} - 6 x^{2} - 63 x$

Etapa 1

Escreva $x^{3} - 6 x^{2} - 63 x$ como uma função.

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} - 63 x$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 6 x^{2} - 63 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 63 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 63 x)$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 63 x)$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Etapa 2.1.2.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 63 x)$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 63 x)$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} (- 63 x)$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 63 x]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $- 63$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 63 x$ em relação a $x$ é $- 63 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x - 63 \frac{d}{d x} x$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x - 63 \cdot 1$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $- 63$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x - 63$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 12 x - 63$ .

$3 x^{2} - 12 x - 63$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 12 x - 63 = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 12 x - 63 = 0$

Etapa 3.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.2.1

Fatore $3$ de $3 x^{2} - 12 x - 63$ .

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Etapa 3.2.1.1

Fatore $3$ de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 12 x - 63 = 0$

Etapa 3.2.1.2

Fatore $3$ de $- 12 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) - 63 = 0$

Etapa 3.2.1.3

Fatore $3$ de $- 63$ .

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot - 21 = 0$

Etapa 3.2.1.4

Fatore $3$ de $3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ .

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 21 = 0$

Etapa 3.2.1.5

Fatore $3$ de $3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 21$ .

$3 (x^{2} - 4 x - 21) = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore.

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Etapa 3.2.2.1

Fatore $x^{2} - 4 x - 21$ usando o método AC.

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Etapa 3.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 21$ e cuja soma é $- 4$ .

$- 7, 3$

Etapa 3.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$3 ((x - 7) (x + 3)) = 0$

Etapa 3.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$3 (x - 7) (x + 3) = 0$

Etapa 3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 3.4

Defina $x - 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.4.1

Defina $x - 7$ como igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Etapa 3.4.2

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x = 7$

Etapa 3.5

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.5.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 3.5.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 3.6

A solução final são todos os valores que tornam $3 (x - 7) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 7, - 3$

Etapa 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $7, - 3$ .

$7, - 3$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 7) \cup (7, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 3)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f' (- 4) = 3 {(- 4)}^{2} - 12 \cdot - 4 - 63$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f' (- 4) = 3 \cdot 16 - 12 \cdot - 4 - 63$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $3$ por $16$ .

$f' (- 4) = 48 - 12 \cdot - 4 - 63$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $- 12$ por $- 4$ .

$f' (- 4) = 48 + 48 - 63$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 6.2.2.1

Some $48$ e $48$ .

$f' (- 4) = 96 - 63$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $63$ de $96$ .

$f' (- 4) = 33$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $33$ .

$33$

Etapa 6.3

Em $x = - 4$ , a derivada é $33$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, - 3)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 3)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 3, 7)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = 3 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2 - 63$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (2) = 3 \cdot 4 - 12 \cdot 2 - 63$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$f' (2) = 12 - 12 \cdot 2 - 63$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- 12$ por $2$ .

$f' (2) = 12 - 24 - 63$

Etapa 7.2.2

Simplifique subtraindo os números.

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Etapa 7.2.2.1

Subtraia $24$ de $12$ .

$f' (2) = - 12 - 63$

Etapa 7.2.2.2

Subtraia $63$ de $- 12$ .

$f' (2) = - 75$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 75$ .

$- 75$

Etapa 7.3

Em $x = 2$ , a derivada é $- 75$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- 3, 7)$ .

Decréscimo em $(- 3, 7)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(7, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $8$ na expressão.

$f' (8) = 3 {(8)}^{2} - 12 \cdot 8 - 63$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$f' (8) = 3 \cdot 64 - 12 \cdot 8 - 63$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $3$ por $64$ .

$f' (8) = 192 - 12 \cdot 8 - 63$

Etapa 8.2.1.3

Multiplique $- 12$ por $8$ .

$f' (8) = 192 - 96 - 63$

Etapa 8.2.2

Simplifique subtraindo os números.

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Etapa 8.2.2.1

Subtraia $96$ de $192$ .

$f' (8) = 96 - 63$

Etapa 8.2.2.2

Subtraia $63$ de $96$ .

$f' (8) = 33$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $33$ .

$33$

Etapa 8.3

Em $x = 8$ , a derivada é $33$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(7, \infty)$ .

Acréscimo em $(7, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 9

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, - 3), (7, \infty)$

Decréscimo em: $(- 3, 7)$

Etapa 10