Cálculo Exemplos

$x + \frac{10}{x}$

Etapa 1

Escreva $x + \frac{10}{x}$ como uma função.

$f (x) = x + \frac{10}{x}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \frac{10}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{10}{x})$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\frac{10}{x})$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{10}{x}]$ .

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Etapa 2.1.2.1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{10}{x}$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = 1 + 10 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Etapa 2.1.2.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 1 + 10 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Etapa 2.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f' (x) = 1 + 10 (- x^{- 2})$

Etapa 2.1.2.4

Multiplique $- 1$ por $10$ .

$f' (x) = 1 - 10 x^{- 2}$

Etapa 2.1.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 - 10 \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 2.1.4

Simplifique.

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Etapa 2.1.4.1

Combine os termos.

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Etapa 2.1.4.1.1

Combine $- 10$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 10}{x^{2}}$

Etapa 2.1.4.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = 1 - \frac{10}{x^{2}}$

Etapa 2.1.4.2

Reordene os termos.

$f' (x) = - \frac{10}{x^{2}} + 1$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{10}{x^{2}} + 1$ .

$- \frac{10}{x^{2}} + 1$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{10}{x^{2}} + 1 = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{10}{x^{2}} + 1 = 0$

Etapa 3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \frac{10}{x^{2}} = - 1$

Etapa 3.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{2}, 1$

Etapa 3.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{2}$

Etapa 3.4

Multiplique cada termo em $- \frac{10}{x^{2}} = - 1$ por $x^{2}$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.4.1

Multiplique cada termo em $- \frac{10}{x^{2}} = - 1$ por $x^{2}$ .

$- \frac{10}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{10}{x^{2}}$ para o numerador.

$\frac{- 10}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Etapa 3.4.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 10}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Etapa 3.4.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 10 = - x^{2}$

Etapa 3.5

Resolva a equação.

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Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $- x^{2} = - 10$ .

$- x^{2} = - 10$

Etapa 3.5.2

Divida cada termo em $- x^{2} = - 10$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.5.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} = - 10$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 10}{- 1}$

Etapa 3.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 10}{- 1}$

Etapa 3.5.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 10}{- 1}$

Etapa 3.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.5.2.3.1

Divida $- 10$ por $- 1$ .

$x^{2} = 10$

Etapa 3.5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{10}$

Etapa 3.5.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.5.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{10}$

Etapa 3.5.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{10}$

Etapa 3.5.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{10}, - \sqrt{10}$

Etapa 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $\sqrt{10}, - \sqrt{10}$ .

$\sqrt{10}, - \sqrt{10}$

Etapa 5

Encontre onde a derivada é indefinida.

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Etapa 5.1

Defina o denominador em $\frac{10}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 5.2

Resolva $x$ .

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Etapa 5.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 5.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 5.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 5.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 5.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 6

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - \sqrt{10}) \cup (- \sqrt{10}, 0) \cup (0, \sqrt{10}) \cup (\sqrt{10}, \infty)$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - \sqrt{10})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 4.1622777$ na expressão.

$f' (- 4.1622777) = - \frac{10}{{(- 4.1622777)}^{2}} + 1$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Eleve $- 4.1622777$ à potência de $2$ .

$f' (- 4.1622777) = - \frac{10}{17.32455565} + 1$

Etapa 7.2.1.2

Divida $10$ por $17.32455565$ .

$f' (- 4.1622777) = - 1 \cdot 0.57721538 + 1$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $0.57721538$ .

$f' (- 4.1622777) = - 0.57721538 + 1$

Etapa 7.2.2

Some $- 0.57721538$ e $1$ .

$f' (- 4.1622777) = 0.42278461$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $0.42278461$ .

$0.42278461$

Etapa 7.3

Em $x = - 4.1622777$ , a derivada é $0.42278461$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, - \sqrt{10})$ .

Acréscimo em $(- \infty, - \sqrt{10})$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(- 3.1622777, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.58113885$ na expressão.

$f' (- 1.58113885) = - \frac{10}{{(- 1.58113885)}^{2}} + 1$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1.1

Eleve $- 1.58113885$ à potência de $2$ .

$f' (- 1.58113885) = - \frac{10}{2.50000006} + 1$

Etapa 8.2.1.2

Divida $10$ por $2.50000006$ .

$f' (- 1.58113885) = - 1 \cdot 3.99999989 + 1$

Etapa 8.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $3.99999989$ .

$f' (- 1.58113885) = - 3.99999989 + 1$

Etapa 8.2.2

Some $- 3.99999989$ e $1$ .

$f' (- 1.58113885) = - 2.99999989$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $- 2.99999989$ .

$- 2.99999989$

Etapa 8.3

Em $x = - 1.58113885$ , a derivada é $- 2.99999989$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- 3.1622777, 0)$ .

Decréscimo em $(- \sqrt{10}, 0)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 9

Substitua um valor do intervalo $(0, \sqrt{10})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $1.58113885$ na expressão.

$f' (1.58113885) = - \frac{10}{{(1.58113885)}^{2}} + 1$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 9.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.2.1.1

Eleve $1.58113885$ à potência de $2$ .

$f' (1.58113885) = - \frac{10}{2.50000006} + 1$

Etapa 9.2.1.2

Divida $10$ por $2.50000006$ .

$f' (1.58113885) = - 1 \cdot 3.99999989 + 1$

Etapa 9.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $3.99999989$ .

$f' (1.58113885) = - 3.99999989 + 1$

Etapa 9.2.2

Some $- 3.99999989$ e $1$ .

$f' (1.58113885) = - 2.99999989$

Etapa 9.2.3

A resposta final é $- 2.99999989$ .

$- 2.99999989$

Etapa 9.3

Em $x = 1.58113885$ , a derivada é $- 2.99999989$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, \sqrt{10})$ .

Decréscimo em $(0, \sqrt{10})$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 10

Substitua um valor do intervalo $(\sqrt{10}, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 10.1

Substitua a variável $x$ por $4.1622777$ na expressão.

$f' (4.1622777) = - \frac{10}{{(4.1622777)}^{2}} + 1$

Etapa 10.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.1.1

Eleve $4.1622777$ à potência de $2$ .

$f' (4.1622777) = - \frac{10}{17.32455565} + 1$

Etapa 10.2.1.2

Divida $10$ por $17.32455565$ .

$f' (4.1622777) = - 1 \cdot 0.57721538 + 1$

Etapa 10.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $0.57721538$ .

$f' (4.1622777) = - 0.57721538 + 1$

Etapa 10.2.2

Some $- 0.57721538$ e $1$ .

$f' (4.1622777) = 0.42278461$

Etapa 10.2.3

A resposta final é $0.42278461$ .

$0.42278461$

Etapa 10.3

Em $x = 4.1622777$ , a derivada é $0.42278461$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(\sqrt{10}, \infty)$ .

Acréscimo em $(\sqrt{10}, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 11

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, - \sqrt{10}), (\sqrt{10}, \infty)$

Decréscimo em: $(- \sqrt{10}, 0), (0, \sqrt{10})$

Etapa 12