Cálculo Exemplos

$- x^{3} + 6 x^{2} - 18$

Etapa 1

Escreva $- x^{3} + 6 x^{2} - 18$ como uma função.

$f (x) = - x^{3} + 6 x^{2} - 18$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{3} + 6 x^{2} - 18$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Etapa 2.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 3 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 18]$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$- 3 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 18]$

Etapa 2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.1.4.1

Como $- 18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 18$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 3 x^{2} + 12 x + 0$

Etapa 2.1.4.2

Some $- 3 x^{2} + 12 x$ e $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 12 x$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 3 x^{2} + 12 x$ .

$- 3 x^{2} + 12 x$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 3 x^{2} + 12 x = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 3 x^{2} + 12 x = 0$

Etapa 3.2

Fatore $- 3 x$ de $- 3 x^{2} + 12 x$ .

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Etapa 3.2.1

Fatore $- 3 x$ de $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x \cdot x + 12 x = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore $- 3 x$ de $12 x$ .

$- 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 4 = 0$

Etapa 3.2.3

Fatore $- 3 x$ de $- 3 x (x) - 3 x (- 4)$ .

$- 3 x (x - 4) = 0$

Etapa 3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Etapa 3.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.5

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.5.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 3.5.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 3.6

A solução final são todos os valores que tornam $- 3 x (x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 4$

Etapa 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0, 4$ .

$0, 4$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f' (- 1) = - 3 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1)$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- 1) = - 3 \cdot 1 + 12 (- 1)$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f' (- 1) = - 3 + 12 (- 1)$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $12$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - 3 - 12$

Etapa 6.2.2

Subtraia $12$ de $- 3$ .

$f' (- 1) = - 15$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 15$ .

$- 15$

Etapa 6.3

Em $x = - 1$ , a derivada é $- 15$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, 0)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, 4)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = - 3 {(2)}^{2} + 12 (2)$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (2) = - 3 \cdot 4 + 12 (2)$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$f' (2) = - 12 + 12 (2)$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $12$ por $2$ .

$f' (2) = - 12 + 24$

Etapa 7.2.2

Some $- 12$ e $24$ .

$f' (2) = 12$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $12$ .

$12$

Etapa 7.3

Em $x = 2$ , a derivada é $12$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(0, 4)$ .

Acréscimo em $(0, 4)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(4, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f' (5) = - 3 {(5)}^{2} + 12 (5)$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f' (5) = - 3 \cdot 25 + 12 (5)$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $25$ .

$f' (5) = - 75 + 12 (5)$

Etapa 8.2.1.3

Multiplique $12$ por $5$ .

$f' (5) = - 75 + 60$

Etapa 8.2.2

Some $- 75$ e $60$ .

$f' (5) = - 15$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $- 15$ .

$- 15$

Etapa 8.3

Em $x = 5$ , a derivada é $- 15$ . Por ser negativa, a função diminui em $(4, \infty)$ .

Decréscimo em $(4, \infty)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 9

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(0, 4)$

Decréscimo em: $(- \infty, 0), (4, \infty)$

Etapa 10