Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.1.1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 1.1.1.3.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.1.1.3.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 1.1.1.3.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.1.1.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.1.1.3.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.1.1.3.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.1.1.3.2.2.3

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.1.1.3.2.2.4

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.1.1.3.2.2.5

Divida $x$ por $1$ .

$f' (x) = x + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = x + \ln (x) (2 x)$

Etapa 1.1.1.3.4

Reordene os termos.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x \ln (x) + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ .

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Etapa 1.1.2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x \ln (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.2.2.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.2.2.5

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.2.2.6

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.1.2.2.6.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.2.2.6.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.2.2.7

Multiplique $\ln (x)$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + 1$

Etapa 1.1.2.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (x) + 1$

Etapa 1.1.2.4.2

Combine os termos.

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Etapa 1.1.2.4.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (x) + 1$

Etapa 1.1.2.4.2.2

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = 2 \ln (x) + 3$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 \ln (x) + 3$ .

$2 \ln (x) + 3$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 \ln (x) + 3 = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$2 \ln (x) + 3 = 0$

Etapa 1.2.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$2 \ln (x) = - 3$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $2 \ln (x) = - 3$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $2 \ln (x) = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $\ln (x)$ por $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 3}{2}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (x) = - \frac{3}{2}$

Etapa 1.2.4

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{3}{2}}$

Etapa 1.2.5

Reescreva $\ln (x) = - \frac{3}{2}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{3}{2}} = x$

Etapa 1.2.6

Resolva $x$ .

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Etapa 1.2.6.1

Reescreva a equação como $x = e^{- \frac{3}{2}}$ .

$x = e^{- \frac{3}{2}}$

Etapa 1.2.6.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2

Encontre o domínio de $f (x) = x^{2} \ln (x)$ .

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Etapa 2.1

Defina o argumento em $\ln (x)$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x > 0$

Etapa 2.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Notação de intervalo:

$(0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $0.11$ na expressão.

$f'' (0.11) = 2 \ln (0.11) + 3$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Simplifique $2 \ln (0.11)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$f'' (0.11) = \ln ({0.11}^{2}) + 3$

Etapa 4.2.1.2

Eleve $0.11$ à potência de $2$ .

$f'' (0.11) = \ln (0.0121) + 3$

Etapa 4.2.2

A resposta final é $\ln (0.0121) + 3$ .

$\ln (0.0121) + 3$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ porque $f'' (0.11)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f'' (3) = 2 \ln (3) + 3$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Simplifique $2 \ln (3)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$f'' (3) = \ln (3^{2}) + 3$

Etapa 5.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f'' (3) = \ln (9) + 3$

Etapa 5.2.2

A resposta final é $\ln (9) + 3$ .

$\ln (9) + 3$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ porque $f'' (3)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7