Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{4}{x^{2} - 4}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4}{x^{2} - 4}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 4}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2} - 4})$

Etapa 1.1.1.1.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2} - 4}$ como ${(x^{2} - 4)}^{- 1}$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 4)}^{- 1})$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f' (x) = 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))$

Etapa 1.1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = 4 (- {(x^{2} - 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))$

Etapa 1.1.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f' (x) = - 4 ({(x^{2} - 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))$

Etapa 1.1.1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = - 4 {(x^{2} - 4)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))$

Etapa 1.1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = - 4 {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))$

Etapa 1.1.1.3.4

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = - 4 {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x + 0)$

Etapa 1.1.1.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = - 4 {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x)$

Etapa 1.1.1.3.5.2

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$f' (x) = - 8 {(x^{2} - 4)}^{- 2} x$

Etapa 1.1.1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 8 \frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

Etapa 1.1.1.5

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.1

Combine $- 8$ e $\frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 8}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

Etapa 1.1.1.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{8}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

Etapa 1.1.1.5.3

Combine $x$ e $\frac{8}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x \cdot 8}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.5.4

Mova $8$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = - \frac{8 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{8 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{({(x^{2} - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} - 4)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.3.3

Multiplique ${(x^{2} - 4)}^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} - x (2 (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.2

Fatore $x^{2} - 4$ de ${(x^{2} - 4)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.2.1

Fatore $x^{2} - 4$ de ${(x^{2} - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{(x^{2} - 4) (x^{2} - 4) - 2 x ((x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.2.2

Fatore $x^{2} - 4$ de $- 2 x ((x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{(x^{2} - 4) (x^{2} - 4) + (x^{2} - 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 4)))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.2.3

Fatore $x^{2} - 4$ de $(x^{2} - 4) (x^{2} - 4) + (x^{2} - 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]))$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{(x^{2} - 4) (x^{2} - 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 4)))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.1

Fatore $x^{2} - 4$ de ${(x^{2} - 4)}^{4}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{(x^{2} - 4) (x^{2} - 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 4)))}{(x^{2} - 4) {(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.6.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - 8 \frac{(x^{2} - 4) (x^{2} - 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 4)))}{(x^{2} - 4) {(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.6.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - 8 \frac{x^{2} - 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{x^{2} - 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{x^{2} - 4 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.9

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{x^{2} - 4 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.10

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.10.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{x^{2} - 4 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.10.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{x^{2} - 4 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.11

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{x^{2} - 4 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{x^{2} - 4 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.13

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 8 \frac{x^{2} - 4 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.14

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{x^{2} - 4 - 4 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.15

Subtraia $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{- 3 x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.16

Combine $- 8$ e $\frac{- 3 x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (- 3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.17

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{(8) (- 3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.18

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.18.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{8 (- 3 x^{2}) + 8 \cdot - 4}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.18.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.18.2.1

Multiplique $- 3$ por $8$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 x^{2} + 8 \cdot - 4}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.18.2.2

Multiplique $8$ por $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 x^{2} - 32}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{- 24 x^{2} - 32}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$ .

$- \frac{- 24 x^{2} - 32}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{- 24 x^{2} - 32}{{(x^{2} - 4)}^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- \frac{- 24 x^{2} - 32}{{(x^{2} - 4)}^{3}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$- 24 x^{2} - 32 = 0$

Etapa 1.2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Some $32$ aos dois lados da equação.

$- 24 x^{2} = 32$

Etapa 1.2.3.2

Divida cada termo em $- 24 x^{2} = 32$ por $- 24$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Divida cada termo em $- 24 x^{2} = 32$ por $- 24$ .

$\frac{- 24 x^{2}}{- 24} = \frac{32}{- 24}$

Etapa 1.2.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 24 x^{2}}{- 24} = \frac{32}{- 24}$

Etapa 1.2.3.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{32}{- 24}$

Etapa 1.2.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.3.1

Cancele o fator comum de $32$ e $- 24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.3.1.1

Fatore $8$ de $32$ .

$x^{2} = \frac{8 (4)}{- 24}$

Etapa 1.2.3.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.3.1.2.1

Fatore $8$ de $- 24$ .

$x^{2} = \frac{8 \cdot 4}{8 \cdot - 3}$

Etapa 1.2.3.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} = \frac{8 \cdot 4}{8 \cdot - 3}$

Etapa 1.2.3.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} = \frac{4}{- 3}$

Etapa 1.2.3.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{2} = - \frac{4}{3}$

Etapa 1.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$

Etapa 1.2.3.4

Simplifique $\pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.4.1

Reescreva $- \frac{4}{3}$ como $i^{2} \frac{2^{2}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.4.1.1

Reescreva $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{4}{3}}$

Etapa 1.2.3.4.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2^{2}}{3}}$

Etapa 1.2.3.4.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{2^{2}}{3}}$

Etapa 1.2.3.4.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \pm i \sqrt{\frac{4}{3}}$

Etapa 1.2.3.4.4

Reescreva $\sqrt{\frac{4}{3}}$ como $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Etapa 1.2.3.4.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.4.5.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 1.2.3.4.5.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \frac{2}{\sqrt{3}}$

Etapa 1.2.3.4.6

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Etapa 1.2.3.4.7

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.4.7.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 1.2.3.4.7.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 1.2.3.4.7.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 1.2.3.4.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 1.2.3.4.7.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 1.2.3.4.7.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.4.7.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.2.3.4.7.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 1.2.3.4.7.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.2.3.4.7.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.4.7.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.2.3.4.7.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 1.2.3.4.7.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.2.3.4.8

Combine $i$ e $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i (2 \sqrt{3})}{3}$

Etapa 1.2.3.4.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.2.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.2.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.2.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 2

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{4}{x^{2} - 4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina o denominador em $\frac{4}{x^{2} - 4}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} - 4 = 0$

Etapa 2.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 4$

Etapa 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Etapa 2.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Etapa 2.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 2$

Etapa 2.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2$

Etapa 2.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2$

Etapa 2.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2, - 2$

Etapa 2.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 2, - 2}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 2, - 2}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 2)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f'' (- 4) = - \frac{- 24 {(- 4)}^{2} - 32}{{({(- 4)}^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 24 \cdot 16 - 32}{{({(- 4)}^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $- 24$ por $16$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 384 - 32}{{({(- 4)}^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 4.2.1.3

Subtraia $32$ de $- 384$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 416}{{({(- 4)}^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 416}{{(16 - 4)}^{3}}$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $4$ de $16$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 416}{12^{3}}$

Etapa 4.2.2.3

Eleve $12$ à potência de $3$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 416}{1728}$

Etapa 4.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 416$ e $1728$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.1

Fatore $32$ de $- 416$ .

$f'' (- 4) = - \frac{32 (- 13)}{1728}$

Etapa 4.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.2.1

Fatore $32$ de $1728$ .

$f'' (- 4) = - \frac{32 \cdot - 13}{32 \cdot 54}$

Etapa 4.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (- 4) = - \frac{32 \cdot - 13}{32 \cdot 54}$

Etapa 4.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (- 4) = - \frac{- 13}{54}$

Etapa 4.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- 4) = \frac{13}{54}$

Etapa 4.2.4

A resposta final é $\frac{13}{54}$ .

$\frac{13}{54}$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, - 2)$ porque $f'' (- 4)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 2)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- 2, 2)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = - \frac{- 24 {(0)}^{2} - 32}{{({(0)}^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = - \frac{- 24 \cdot 0 - 32}{{(0^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 24$ por $0$ .

$f'' (0) = - \frac{0 - 32}{{(0^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 5.2.1.3

Subtraia $32$ de $0$ .

$f'' (0) = - \frac{- 32}{{(0^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = - \frac{- 32}{{(0 - 4)}^{3}}$

Etapa 5.2.2.2

Subtraia $4$ de $0$ .

$f'' (0) = - \frac{- 32}{{(- 4)}^{3}}$

Etapa 5.2.2.3

Eleve $- 4$ à potência de $3$ .

$f'' (0) = - \frac{- 32}{- 64}$

Etapa 5.2.3

Cancele o fator comum de $- 32$ e $- 64$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Fatore $- 32$ de $- 32$ .

$f'' (0) = - \frac{- 32 \cdot 1}{- 64}$

Etapa 5.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.1

Fatore $- 32$ de $- 64$ .

$f'' (0) = - \frac{- 32 \cdot 1}{- 32 \cdot 2}$

Etapa 5.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (0) = - \frac{- 32 \cdot 1}{- 32 \cdot 2}$

Etapa 5.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (0) = - \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.4

A resposta final é $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- 2, 2)$ porque $f'' (0)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- 2, 2)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(2, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f'' (4) = - \frac{- 24 {(4)}^{2} - 32}{{({(4)}^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f'' (4) = - \frac{- 24 \cdot 16 - 32}{{(4^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 24$ por $16$ .

$f'' (4) = - \frac{- 384 - 32}{{(4^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.3

Subtraia $32$ de $- 384$ .

$f'' (4) = - \frac{- 416}{{(4^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f'' (4) = - \frac{- 416}{{(16 - 4)}^{3}}$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $4$ de $16$ .

$f'' (4) = - \frac{- 416}{12^{3}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $12$ à potência de $3$ .

$f'' (4) = - \frac{- 416}{1728}$

Etapa 6.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 416$ e $1728$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.1

Fatore $32$ de $- 416$ .

$f'' (4) = - \frac{32 (- 13)}{1728}$

Etapa 6.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.2.1

Fatore $32$ de $1728$ .

$f'' (4) = - \frac{32 \cdot - 13}{32 \cdot 54}$

Etapa 6.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (4) = - \frac{32 \cdot - 13}{32 \cdot 54}$

Etapa 6.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (4) = - \frac{- 13}{54}$

Etapa 6.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (4) = \frac{13}{54}$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $\frac{13}{54}$ .

$\frac{13}{54}$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(2, \infty)$ porque $f'' (4)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(2, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 2)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(- 2, 2)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(2, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8