Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{- 1}{x - 5}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x - 5})$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x - 5}$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x - 5} + \frac{1}{x - 5} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.1.3

Reescreva $\frac{1}{x - 5}$ como ${(x - 5)}^{- 1}$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{- 1} + \frac{1}{x - 5} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.1.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x - 5$ .

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Etapa 1.1.1.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 5$ .

$f' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x - 5)) + \frac{1}{x - 5} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f' (x) = - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 5)) + \frac{1}{x - 5} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.1.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 5$ .

$f' (x) = - (- {(x - 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 5)) + \frac{1}{x - 5} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.1.5

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f' (x) = 1 ({(x - 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 5)) + \frac{1}{x - 5} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.1.5.2

Multiplique ${(x - 5)}^{- 2}$ por $1$ .

$f' (x) = {(x - 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 5) + \frac{1}{x - 5} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.1.5.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f' (x) = {(x - 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + \frac{1}{x - 5} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.1.5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = {(x - 5)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + \frac{1}{x - 5} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.1.5.5

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = {(x - 5)}^{- 2} (1 + 0) + \frac{1}{x - 5} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.1.5.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.1.5.6.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = {(x - 5)}^{- 2} \cdot 1 + \frac{1}{x - 5} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.1.5.6.2

Multiplique ${(x - 5)}^{- 2}$ por $1$ .

$f' (x) = {(x - 5)}^{- 2} + \frac{1}{x - 5} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.1.5.7

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = {(x - 5)}^{- 2} + \frac{1}{x - 5} \cdot 0$

Etapa 1.1.1.5.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.1.5.8.1

Multiplique $\frac{1}{x - 5}$ por $0$ .

$f' (x) = {(x - 5)}^{- 2} + 0$

Etapa 1.1.1.5.8.2

Some ${(x - 5)}^{- 2}$ e $0$ .

$f' (x) = {(x - 5)}^{- 2}$

Etapa 1.1.1.6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.1.2.1.1

Reescreva $\frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$ como ${({(x - 5)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({({(x - 5)}^{2})}^{- 1})$

Etapa 1.1.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${({(x - 5)}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.1.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x - 5)}^{2 \cdot - 1})$

Etapa 1.1.2.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x - 5)}^{- 2})$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = x - 5$ .

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Etapa 1.1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 5$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x - 5)$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$f'' (x) = - 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 5)$

Etapa 1.1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 5$ .

$f'' (x) = - 2 {(x - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 5)$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = - 2 {(x - 5)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 {(x - 5)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (- 5))$

Etapa 1.1.2.3.3

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 2 {(x - 5)}^{- 3} (1 + 0)$

Etapa 1.1.2.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - 2 {(x - 5)}^{- 3} \cdot 1$

Etapa 1.1.2.3.4.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 {(x - 5)}^{- 3}$

Etapa 1.1.2.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1}{{(x - 5)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.4.2

Combine os termos.

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Etapa 1.1.2.4.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{{(x - 5)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2}{{(x - 5)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{2}{{(x - 5)}^{3}}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{2}{{(x - 5)}^{3}}$ .

$- \frac{2}{{(x - 5)}^{3}}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{2}{{(x - 5)}^{3}} = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- \frac{2}{{(x - 5)}^{3}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 = 0$

Etapa 1.2.3

Como $2 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 2

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{- 1}{x - 5}$ .

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Etapa 2.1

Defina o denominador em $\frac{- 1}{x - 5}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 5 = 0$

Etapa 2.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 2.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 5}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 5}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, 5)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = - \frac{2}{{((0) - 5)}^{3}}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1.1

Subtraia $5$ de $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2}{{(- 5)}^{3}}$

Etapa 4.2.1.2

Eleve $- 5$ à potência de $3$ .

$f'' (0) = - \frac{2}{- 125}$

Etapa 4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (0) = \frac{2}{125}$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $\frac{2}{125}$ .

$\frac{2}{125}$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, 5)$ porque $f'' (0)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, 5)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(5, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $8$ na expressão.

$f'' (8) = - \frac{2}{{((8) - 5)}^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.1.1

Subtraia $5$ de $8$ .

$f'' (8) = - \frac{2}{3^{3}}$

Etapa 5.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f'' (8) = - \frac{2}{27}$

Etapa 5.2.2

A resposta final é $- \frac{2}{27}$ .

$- \frac{2}{27}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(5, \infty)$ porque $f'' (8)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(5, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 6

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, 5)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(5, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 7