Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{5} - 5 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{5}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$f' (x) = 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $5$ por $3$ .

$f' (x) = 15 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x^{3}$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 (3 x^{2})$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $3$ por $- 5$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $15 x^{4} - 15 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Etapa 1.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15 x^{4}$ em relação a $x$ é $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Etapa 1.1.2.2.3

Multiplique $4$ por $15$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Etapa 1.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.2.3.1

Como $- 15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 15 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 15 \frac{d}{d x} x^{2}$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 15 (2 x)$

Etapa 1.1.2.3.3

Multiplique $2$ por $- 15$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 30 x$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $60 x^{3} - 30 x$ .

$60 x^{3} - 30 x$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $60 x^{3} - 30 x = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$60 x^{3} - 30 x = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $30 x$ de $60 x^{3} - 30 x$ .

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Etapa 1.2.2.1

Fatore $30 x$ de $60 x^{3}$ .

$30 x (2 x^{2}) - 30 x = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore $30 x$ de $- 30 x$ .

$30 x (2 x^{2}) + 30 x (- 1) = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore $30 x$ de $30 x (2 x^{2}) + 30 x (- 1)$ .

$30 x (2 x^{2} - 1) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} - 1 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $2 x^{2} - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.5.1

Defina $2 x^{2} - 1$ como igual a $0$ .

$2 x^{2} - 1 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Resolva $2 x^{2} - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.5.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x^{2} = 1$

Etapa 1.2.5.2.2

Divida cada termo em $2 x^{2} = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 1.2.5.2.2.1

Divida cada termo em $2 x^{2} = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.5.2.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.2.5.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 1.2.5.2.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Etapa 1.2.5.2.4.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 1.2.5.2.4.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 1.2.5.2.4.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 1.2.5.2.4.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 1.2.5.2.4.4.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 1.2.5.2.4.4.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 1.2.5.2.4.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 1.2.5.2.4.4.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 1.2.5.2.4.4.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 1.2.5.2.4.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.2.5.2.4.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 1.2.5.2.4.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.2.5.2.4.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.5.2.4.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.2.5.2.4.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 1.2.5.2.4.4.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 1.2.5.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.2.5.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 1.2.5.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 1.2.5.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $30 x (2 x^{2} - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f'' (- 3) = 60 {(- 3)}^{3} - 30 \cdot - 3$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$f'' (- 3) = 60 \cdot - 27 - 30 \cdot - 3$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $60$ por $- 27$ .

$f'' (- 3) = - 1620 - 30 \cdot - 3$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $- 30$ por $- 3$ .

$f'' (- 3) = - 1620 + 90$

Etapa 4.2.2

Some $- 1620$ e $90$ .

$f'' (- 3) = - 1530$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $- 1530$ .

$- 1530$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ porque $f'' (- 3)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.35$ na expressão.

$f'' (- 0.35) = 60 {(- 0.35)}^{3} - 30 \cdot - 0.35$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 0.35$ à potência de $3$ .

$f'' (- 0.35) = 60 \cdot - 0.042875 - 30 \cdot - 0.35$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $60$ por $- 0.042875$ .

$f'' (- 0.35) = - 2.5725 - 30 \cdot - 0.35$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 30$ por $- 0.35$ .

$f'' (- 0.35) = - 2.5725 + 10.5$

Etapa 5.2.2

Some $- 2.5725$ e $10.5$ .

$f'' (- 0.35) = 7.9275$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $7.9275$ .

$7.9275$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ porque $f'' (- 0.35)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0.35$ na expressão.

$f'' (0.35) = 60 {(0.35)}^{3} - 30 \cdot 0.35$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $0.35$ à potência de $3$ .

$f'' (0.35) = 60 \cdot 0.042875 - 30 \cdot 0.35$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $60$ por $0.042875$ .

$f'' (0.35) = 2.5725 - 30 \cdot 0.35$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $- 30$ por $0.35$ .

$f'' (0.35) = 2.5725 - 10.5$

Etapa 6.2.2

Subtraia $10.5$ de $2.5725$ .

$f'' (0.35) = - 7.9275$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 7.9275$ .

$- 7.9275$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ porque $f'' (0.35)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 7

Substitua qualquer número do intervalo $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f'' (3) = 60 {(3)}^{3} - 30 \cdot 3$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f'' (3) = 60 \cdot 27 - 30 \cdot 3$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $60$ por $27$ .

$f'' (3) = 1620 - 30 \cdot 3$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- 30$ por $3$ .

$f'' (3) = 1620 - 90$

Etapa 7.2.2

Subtraia $90$ de $1620$ .

$f'' (3) = 1530$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $1530$ .

$1530$

Etapa 7.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ porque $f'' (3)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 9