Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{4}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $4$ por $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $3$ por $- 16$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Etapa 1.1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Como $18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $18 x^{2}$ em relação a $x$ é $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 18 (2 x)$

Etapa 1.1.1.4.3

Multiplique $2$ por $18$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 36 x$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 x^{3} - 48 x^{2} + 36 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Etapa 1.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{3}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Etapa 1.1.2.2.3

Multiplique $3$ por $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Etapa 1.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.2.3.1

Como $- 48$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 48 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (36 x)$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Etapa 1.1.2.3.3

Multiplique $2$ por $- 48$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} (36 x)$

Etapa 1.1.2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [36 x]$ .

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Etapa 1.1.2.4.1

Como $36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36 x$ em relação a $x$ é $36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + 36 \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + 36 \cdot 1$

Etapa 1.1.2.4.3

Multiplique $36$ por $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + 36$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $36 x^{2} - 96 x + 36$ .

$36 x^{2} - 96 x + 36$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $36 x^{2} - 96 x + 36 = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$36 x^{2} - 96 x + 36 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $12$ de $36 x^{2} - 96 x + 36$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $12$ de $36 x^{2}$ .

$12 (3 x^{2}) - 96 x + 36 = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore $12$ de $- 96 x$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 8 x) + 36 = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore $12$ de $36$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 8 x) + 12 (3) = 0$

Etapa 1.2.2.4

Fatore $12$ de $12 (3 x^{2}) + 12 (- 8 x)$ .

$12 (3 x^{2} - 8 x) + 12 (3) = 0$

Etapa 1.2.2.5

Fatore $12$ de $12 (3 x^{2} - 8 x) + 12 (3)$ .

$12 (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $12 (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$ por $12$ e simplifique.

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Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $12 (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$ por $12$ .

$\frac{12 (3 x^{2} - 8 x + 3)}{12} = \frac{0}{12}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12 (3 x^{2} - 8 x + 3)}{12} = \frac{0}{12}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $3 x^{2} - 8 x + 3$ por $1$ .

$3 x^{2} - 8 x + 3 = \frac{0}{12}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Divida $0$ por $12$ .

$3 x^{2} - 8 x + 3 = 0$

Etapa 1.2.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores $a = 3$ , $b = - 8$ e $c = 3$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 3)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1.1

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.6.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.6.1.3

Subtraia $36$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.6.1.4

Reescreva $28$ como $2^{2} \cdot 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1.4.1

Fatore $4$ de $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.6.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.6.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Etapa 1.2.6.3

Simplifique $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

Etapa 1.2.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1.1

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.7.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.7.1.3

Subtraia $36$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.7.1.4

Reescreva $28$ como $2^{2} \cdot 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1.4.1

Fatore $4$ de $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.7.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.7.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.7.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Etapa 1.2.7.3

Simplifique $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

Etapa 1.2.7.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{4 + \sqrt{7}}{3}$

Etapa 1.2.8

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.1.1

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.8.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.8.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.8.1.3

Subtraia $36$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.8.1.4

Reescreva $28$ como $2^{2} \cdot 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.1.4.1

Fatore $4$ de $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.8.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.8.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.8.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Etapa 1.2.8.3

Simplifique $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

Etapa 1.2.8.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

Etapa 1.2.9

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) \cup (\frac{4 - \sqrt{7}}{3}, \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) \cup (\frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, \frac{4 - \sqrt{7}}{3})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = 36 {(0)}^{2} - 96 \cdot 0 + 36$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = 36 \cdot 0 - 96 \cdot 0 + 36$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $36$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 96 \cdot 0 + 36$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $- 96$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 36$

Etapa 4.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f'' (0) = 0 + 36$

Etapa 4.2.2.2

Some $0$ e $36$ .

$f'' (0) = 36$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $36$ .

$36$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, \frac{4 - \sqrt{7}}{3})$ porque $f'' (0)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, \frac{4 - \sqrt{7}}{3})$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(\frac{4 - \sqrt{7}}{3}, \frac{4 + \sqrt{7}}{3})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f'' (1) = 36 {(1)}^{2} - 96 \cdot 1 + 36$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f'' (1) = 36 \cdot 1 - 96 \cdot 1 + 36$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $36$ por $1$ .

$f'' (1) = 36 - 96 \cdot 1 + 36$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 96$ por $1$ .

$f'' (1) = 36 - 96 + 36$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Subtraia $96$ de $36$ .

$f'' (1) = - 60 + 36$

Etapa 5.2.2.2

Some $- 60$ e $36$ .

$f'' (1) = - 24$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 24$ .

$- 24$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(\frac{4 - \sqrt{7}}{3}, \frac{4 + \sqrt{7}}{3})$ porque $f'' (1)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(\frac{4 - \sqrt{7}}{3}, \frac{4 + \sqrt{7}}{3})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(\frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f'' (5) = 36 {(5)}^{2} - 96 \cdot 5 + 36$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f'' (5) = 36 \cdot 25 - 96 \cdot 5 + 36$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $36$ por $25$ .

$f'' (5) = 900 - 96 \cdot 5 + 36$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $- 96$ por $5$ .

$f'' (5) = 900 - 480 + 36$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Subtraia $480$ de $900$ .

$f'' (5) = 420 + 36$

Etapa 6.2.2.2

Some $420$ e $36$ .

$f'' (5) = 456$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $456$ .

$456$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(\frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \infty)$ porque $f'' (5)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(\frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, \frac{4 - \sqrt{7}}{3})$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(\frac{4 - \sqrt{7}}{3}, \frac{4 + \sqrt{7}}{3})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(\frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8